Механические колебания

Частота измеряется в герцах [Гц] = [c^-1]. Частота равна

\(\nu = \frac{1}{T}\) , где

v ― частота [Гц];

T ― период [c].

Если известно, что тело совершает N колебаний за время t, то частоту его колебаний можно определить как

\(\nu = \frac{N}{T}\) , где

ν ― частота [Гц];

N ― количество колебаний;

t — время [с].

Для описания колебательных систем, совершающих круговые процессы, удобно использовать круговую (циклическую) частоту.

Циклическая частота показывает количество полных колебаний, которые происходят за 2π секунд и равна:

ω = 2πv или \(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

ω ― циклическая частота [рад/с];

ν ― частота [Гц];

T ― период [c].

Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид:

Фаза колебаний равна

φ = ωt + φ₀, где

φ ― полная фаза колебаний [рад];

φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];

ω ― циклическая частота [рад/с];

t ― время, [с].

Пример анализа гармонических колебаний точки

Рассмотрим гармонические колебания, в которых уравнение движения точки имеет вид

x(t) = Asin(ωt), где

x ― смещение [м];

t ― время, [с];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с].

Из уравнения x(t) = Asin(ωt) следует, что начального смещения нет (φ₀ = 0) и колебания начинаются из положения равновесия. Смещение x достигает максимального значения Х_max и равно амплитуде Х_max = A, в тот момент, когда модуль синуса равен единице |sin(ωt)| = 1. Когда x = A фаза колебаний равна \(\varphi = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\) , когда x = –A фаза колебаний принимает значения \(\varphi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\) , где n = 0, 1 , 2, … N.

График колебания координаты точки имеет вид:

Определим уравнение и график колебания скорости.

Скорость ― это производная координаты по времени: v = xt', где:

v ― скорость движения точки [м/с];

x ― координата точки [м];

t ― время, [с].

Так как закон изменения координаты нам известен x(t) = Asin(ωt), скорость движения колеблющейся точки: v = xt' = |Asin(ωt)|'t = Acos(ωt).

Сравнив уравнение v(t) = Aωcos(ωt) с кинематическим уравнением гармонических колебаний, легко заметить, что Aω ― амплитуда изменения скорости, а ωt ― фаза колебаний скорости. Таким образом, максимальное значение скорости равно v_max = Aω, и оно достигается при | cos(ωt) | = 1, т. е. тогда, когда фаза колебаний скорости равна φ = πn, где n = 0, 1, 2, … N.

График колебания скорости точки имеет вид:

Аналогично определяются уравнение и график колебания ускорения точки, которая движется по гармоническому закону.

Так как закон изменения скорости был определен выше v(t) = Aωcos(ωt), определим ускорения движения колеблющейся точки: a = vt' = [Aωcos(ωt)]t' = –Aω²sin(ωt).

График колебания ускорения точки имеет вид:

Во время гармонических колебаний, формы энергии колебательной системы все время находятся в процессе взаимной трансформации. В механической колебательной системе преобразуется механическая энергия: потенциальная энергия ― в кинетическую, а затем кинетическая энергия ― вновь в потенциальную. Полная механическая энергия колеблющейся системы постоянна, и в любой момент времени справедлив закон сохранения энергии

E = E_П + E_K, где:

E ― полная механическая энергия системы, E = const, [Дж];

E_П ― потенциальная энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж];

E_K ― кинетическая энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж].

Рассмотрим изменение потенциальной энергии пружинного маятника, который колеблется по гармоническому уравнению x(t) = Asin(ωt).

Потенциальная энергия деформированной пружины равна \(E_{n} = \frac{kx^{2}}{2}\) . У пружинного маятника деформация пружины ― переменная величина, которая зависит от времени. Кинематическое уравнение движения точки, принадлежащей этому маятнику ― x(t) = Asin(ωt). Следовательно, потенциальную энергию пружинного маятника можно записать как \(E_{n} = \frac{k{(x(t))}^{2}}{2} = \frac{k\left( A\sin{(\omega t)} \right)^{2}}{2} = \frac{k}{2}A^{2}\sin^{2}{(\omega t)}\)

Уравнение потенциальной энергии пружинного маятника

\(E_{n} = \frac{k}{2}A^{2}\sin^{2}{(\omega t)}\) , где

E_П ― потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

t ― время, [с].

Амплитуда потенциальной энергии пружинного маятника равна

\(E_{\text{n.max}} = \frac{k}{2}A^{2}\), где

E_Пmax ― максимальная потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

A — амплитуда колебаний [м].

Потенциальная энергия пружинного маятника равна нулю, когда sin(ωt) = 0 ― когда маятник проходит положение равновесия, и максимальна, когда sin(ωt) = 1 ― когда маятник находится в крайних положениях, т. е. когда его смещение равно амплитуде.

График колебаний потенциальной энергии пружинного маятника:

Рассмотрим изменение кинетической энергии маятника. Кинетическая энергия тела равна \(E_{k} = \frac{mv^{2}}{2}\) .У тела, которое совершает колебательные движения, скорость ― переменная величина.

Выше было показано, что если уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), то уравнение скорости точки v(t) = Aωcos(ωt). Таким образом, кинетическая энергия маятника равна \(E_{k} = \frac{m{(v(t))}^{2}}{2} = \frac{m\left( \text{Aω}\cos\left( \text{ωt} \right) \right)^{2}}{2} = \frac{m}{2}A^{2}\omega^{2}\cos^{2}\left( \text{ωt} \right)\)

Уравнение кинетической энергии маятника

\(E_{k} = \frac{m}{2}A^{2}\omega^{2}\cos^{2}\left( \text{ωt} \right)\) , где

E_к ― кинетическая энергия маятника, [Дж];

m ― масса тела, [кг];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

t ― время, [с].

Амплитуда кинетической энергии маятника равна

\(E_{\text{k.max}} = \frac{m}{2}A^{2}\omega^{2}\) , где

E_Кmax ― максимальная кинетическая энергия маятника, [Дж];

m ― масса тела, [кг];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с].

Максимальная кинетическая энергия маятника достигается тогда, когда cos2(ωt) = 1 ― маятник проходит положение равновесия, и она равна нулю, когда маятник находится в крайнем положении.

График колебаний кинетической энергии маятника:

Период колебаний математического маятника равен

\(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\) , где

T ― период колебаний [с];

l ― длина нити математического маятника [м];

g ― ускорение свободного падения [м/с²].

Период колебаний пружинного маятника равен

\(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\) , где

T ― период колебаний [с];

m ― масса груза [кг];

k ― жесткость пружины [Н/м].

Вынужденные колебания

Если частота внешнего воздействия, которое вызывает вынужденные колебания, совпадает с собственной внутренней частотой колебательной системы ― возникает явление резонанса. При резонансе резко возрастает амплитуда колебаний системы. Частота, при которой возникает явление резонанса, называется резонансной частотой.

На рисунке показан график резонансной кривой ― увеличение амплитуды при совпадении частоты внешнего воздействия с внутренней частотой системы.