Движение

Движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других.

Координата — величина, служащая для определения положения какой-либо точки на плоскости или в пространстве.

Перемещением тела называется вектор, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением.

Траектория — это линия, вдоль которой движется тело.

Путь — это длина траектории, вдоль которой движется тело.

Прямолинейным равномерным движением называется движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

Скоростью равномерного прямолинейного движения называется величина, равная отношению перемещения тела \(\overrightarrow{S}\) к времени t, за которое это перемещение произошло:

\(\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{S}}{t}\)

Скорость ― это векторная величина!

В заданиях, где дана зависимость скорости тела от времени.

Пройденный путь можно вычислить как площадь под графиком.

Ускорением тела называется векторная величина, равная отношению изменения скорости за любой промежуток времени к величине этого промежутка

\(\overrightarrow{a} = \frac{\mathrm{\Delta}\overrightarrow{v}}{t}\)

Зависимость скорости от времени при наличии ускорения даётся выражением:

\(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_{0}} + \overrightarrow{a}t\), где:

\(\overrightarrow{v}\) ― скорость тела в момент времени t;

t ― время;

\(\overrightarrow{v_{0}}\) ― начальная скорость тела;

\(\overrightarrow{a}\ \)― ускорение тела.

Равноускоренным движением тела называется движение, при котором его ускорение не меняется, ни по величине, ни по направлению.

Уравнение равноускоренного движения в проекции на ось х имеет вид:

\(x\left( t \right) = x_{0} + v_{0}t + \frac{at^{2}}{2}\)

Где x₀ ― начальная координата тела;

v₀ ― проекция начальная скорость на ось x;

a ― проекция ускорения на ось x;

t ― время движения.

Скорость и ускорение как производная координаты

Если существует зависимость координаты от времени x(t), то зависимость скорости от времени можно получив взяв производную по времени от этой зависимости.

Скорость ― это производная координаты тела по времени v_x(t) = x^'(t). Например, если зависимость координаты тела при равноускоренном движении имеет вид x(t) = 6 – 2t + 12t², то, взяв первую производную от координаты мы получим зависимость скорости тела от времени v_x(t) = –2 + 12 ∙ 2t = –2 + 24t.

Точно так же, ускорение ― это производная от скорости тела. a_x(t) = v_x^'(t).

В случае, если тело бросают с некоторой высоты (балкон, горка и т.д.) горизонтально, или — отпускают без начальной скорости, уравнение координаты при равноускоренном движении имеет вид:

\(H = \frac{gt^{2}}{2}\), где

Н — высота, с которой бросили тело,

t — время, которое тело летело до столкновения с Землей.

Путь, пройденный телом за неизвестный промежуток времени можно найти как:

\(S = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2a}\), где

V — конечная скорость тела,

V₀ — начальная скорость тела,

а — ускорение тела.

Аналогично можно найти пройденный путь, когда неизвестно ускорение тела:

\(S = \frac{v + v_{0}}{2}t\), где все величины были введены ранее.

Движение под углом к горизонту

Зависимость вертикальной координаты от времени при движении под углом к горизонту:

\(H\left( t \right) = h + v_{0} \cdot \sin a \cdot t - \frac{gt^{2}}{2}\),

Где:

H(t) — высота тела над нулевым уровнем в момент времени t [м],

h — начальная высота тела над нулевым уровнем [м],

v₀ — начальная скорость тела [м/с]

α — угол, под которым бросили тело [°],

t — время движения тела [c],

g — ускорении свободного падения [м/с²].

Зависимость горизонтальной координаты от времени при движении под углом к горизонту:

S(t) = v₀ ‧ cos a ‧ t, где:

S(t) — путь, пройденный телом за время t [м]

Угол между вектором скорости тела и горизонтом в любой момент времени может быть выражен из геометрических соображений как:

\(\alpha\left( t \right) = arctg(\frac{v_{y}}{v_{x}})\),

Где:

α(t) — угол между скоростью и горизонтом в момент времени t [°],

v_y = v₀ ∙ sin α – gt — вертикальная проекция скорости тела в момент времени t [м/с],

v_х = v₀ ∙ cos α — горизонтальная проекция скорости тела [м/с].

Работа силы тяжести при падении тела на тот же уровень, с которого тело взлетело (с Земли на Землю, с балкона на балкон и т.д.) равна нулю.

В этом случае выполняется симметрия полета:

угол, под которым тело упадет, равен углу, под которым тело бросили;

скорость, с которой тело упадет, равна скорости, с которой тело бросили;

время взлета тела до максимальной высоты равно времени падания с неё обратно.

Если работа силы тяжести не равна нулю (бросок с Земли на балкон, с балкона на Землю и так далее), симметрия полета не выполняется.

Важные выводимые формулы движения под углом к горизонту

Время взлета на максимальную высоту:

\(t_{взлета} = \frac{v_{0}\sin\alpha}{g}\).

Выводится из уравнения изменения скорости тела от точки взлета до верхней точки траектории в проекции на ось OY, поскольку в верхней точке траектории V_y = 0.

Дальность полета тела:

\(S = \frac{v_{0}^{2}\sin{2\alpha}}{g}\).

Выводится с помощью подставления прошлой формулы в уравнения равномерного движения вдоль горизонтальной оси:

S = v₀ ‧ cos a ‧ t _полета

Здесь используются формула синуса двойного угла и свойство симметрии полета: время взлета равно времени падения, или полное время движения равно удвоенному времени взлета: t_полета = 2t_взлета

Очевидно, что формула применима только при падении тела на тот же уровень, с которого оно взлетело.

Время падения тела с балкона (без начальной скорости) или при броске горизонтально:

\(t_{падения} = \sqrt{\frac{2H}{g}}\)

Формула выводится при проецировании уравнения координаты при равноускоренном движении на ось OY:

\(H\left( t \right) = h + v_{0}\sin a \cdot t - \frac{gt^{2}}{2}\)

с учетом, что проекция начальной скорости на эту ось равна нулю, а конечная координата — тоже ноль:

\(0 = h - \frac{gt_{падения}^{2}}{2}\)

Максимальная высота подъема тела над Землей:

\(\ h = \frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}\)

Формулу легко получить объединением уравнения координаты при равноускоренном движении на ось OY с поверхности Земли:

\(\left( t \right) = h + v_{0} \cdot \sin a \cdot t - \frac{gt^{2}}{2}\)

с формулой времени подъема тела на максимальную высоту:

\(t_{взлета} = \frac{v_{0}\sin\alpha}{g}\)

Все представленные выше формулы могут быть использованы без вывода в задачах первой части, но в задачах второй части за это будут снимать баллы.

Движение по окружности

При движении по окружности часто удобно использовать не обычную скорость, а угловую скорость.

Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Угловая скорость для тела, двигающегося из точки 1 в точку 2, будет равна:

\(\omega = \frac{\mathrm{\Delta}\varphi}{\mathrm{\Delta}t}\), где

∆φ ― угол поворота [рад],

∆t ― промежуток времени [с],

ω ― угловая скорость \(\lbrack\frac{рад}{с}\rbrack\).

Линейную скорость точки на определенном расстоянии (радиусе) R от оси вращения можно считать как: v = ωR.

Соответственно, чем больше будет радиус окружности, тем больше будет линейная скорость, при постоянной угловой скорости.

Период — время, за которое тело делает полный оборот по окружности.

\(T = \frac{2\pi R}{v}\), где

T ― период [с],

R ― радиус окружности [м],

v ― скорость [м/с].

Частота — равна количеству оборотов по окружности, совершенных за единицу времени.

\(\nu = \frac{N}{t}\), где

v ― частота [Гц],

t ― время [c],

N ― количество оборотов.

При движении по окружности тело в каждый момент времени меняет направление своей скорости, а, значит, двигается с ускорением.

Ускорение, которое испытывает тело, движущееся по окружности, называется нормальным или центростремительным и всегда направленно к центру окружности.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой \(a_{n}\):

\(a_{n} = \frac{v^{2}}{R} = \omega^{2}R\), где