Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция

Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция

Например:

$S = vt$

где S – расстояние, v – скорость, t – время.

Представим, что скорость у нас всегда равна 5 км/ч. Тогда будем изменять только расстояние и время:

- Если время равно 1 ч, то расстояние будет равным:

$S = 5 \bullet 1 = 5$

- Увеличим время в 3 раза, получим, что время равно 3 ч, а расстояние:

$S = 5 \bullet 3 = 15$

Видим, что расстояние тоже увеличилась в 3 раза.

Тогда мы говорим, что в выражении $S = vt$ величины S и t – прямо пропорциональные.

Аналогично можем поступить с расстоянием и скоростью, если время будет постоянной величиной. Расстояние и время, расстояние и скорость – прямо пропорциональные между собой, потому что имеют один вид. Такая формула называется – формулой прямой пропорциональности:

$y = kx$

где $x,\ y$ – переменные пропорциональные величины, а $k\$– коэффициент пропорциональности

Если выразим k, получим, что:

$k = \frac{y}{x}$

В таком случае коэффициент k будет одинаков при любых значениях переменных, если они прямо пропорциональны.

ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ:

Например:

$S = vt$

где S – расстояние, v – скорость, t – время.

Представим, что расстояние у нас всегда равно 60 км. Тогда будем изменять только скорость и время. Выразим, например, скорость:

$v = \frac{S}{t}$

- Если время равно 1 ч, то скорость будет равна:

$v = \frac{60}{1} = 60$

- Увеличим время в 2 раза, то время будет равно 2 ч, а скорость:

$v = \frac{60}{2} = 30$

Видим, что при увеличении времени в 2 раза, скорость в 2 раза уменьшилась. Такие величины, как скорость и время в данном выражении, называются обратно пропорциональными.

Общая формула обратной пропорциональности выглядит так:

$y = \frac{k}{x}$

А коэффициент обратной пропорциональности находится перемножением обратно пропорциональных величин:

$k = x \bullet y$

В таком случае коэффициент k будет одинаков при любых значениях переменных, если они обратно пропорциональны.

ПРОПОРЦИЯ:

То есть, если $\frac{a}{b} = k$ и $\frac{c}{d} = k$, то пропорцией будет являться выражение:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$

где $k$ – коэффициент пропорциональности данной пропорции. Обычно пропорцию записывают без коэффициента в виде:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Числа a и d – крайние члены пропорции, а b и с – средние

Это легко запомнить, если записать пропорцию в строчку:

$a : b = c : d$

Сразу видно, что a и d находятся по краям, а b и с – посредине

Свойство пропорции:

Если помножить обе части пропорции на $\text{bd}$, то мы получим:

$\frac{a}{b} \bullet \text{bd} = \frac{c}{d} \bullet bd$

$ad = cb$

Это и есть свойство пропорции – произведение крайних членов пропорции равно произведение средних членов. Еще такое равенство произведений называют умножением крест-накрест.

Чтобы проверить, является ли выражение пропорцией – используют свойство или коэффициент пропорции.

Проверим, является ли пропорцией:

$\frac{0,1}{0,175} = \frac{4}{7}$

Используем свойство пропорции, т.к. найти коэффициент пропорции будет затруднительно:

$0,1 \bullet 7 = 4 \bullet 0,175$

$0,7 = 0,7$

Значит данное выражение является пропорцией.

Проверим, является ли пропорцией:

$\frac{4}{0,2} = \frac{95}{5}$

Используем коэффициент пропорции. Он должен быть равен для двух дробей, если выражение является пропорцией:

$\frac{4}{0,2} = \frac{40}{2} = 20$

$\frac{95}{5} = 19$

$20 \neq 19$

Значит данное выражение НЕ является пропорцией.