Задание 25

Необходимые умения

В задании часто дается комбинация геометрических фигур, соответственно, нужно знать признаки, свойства и теоремы, связанные со всеми геометрическими фигурами, стандартные дополнительные построения, свойства элементов геометрических фигур.

Особенности задания

Третье задание по геометрии во второй части. По праву считается самым сложным во всем экзамене, решаемость, соответственно, очень низкая. Обычно требуется применить дополнительные построения и даже не одно.

Полезные советы

Задания на доказательство могут быть нескольких форматов:

• Прямое доказательство. В данном случае просят доказать свойство, признак, который действительно существует. Вопрос задачи нас сразу и наталкивает на шаги решения.

• Доказательство с переходом. В данном случае просят доказать выражение, соотношение, которое не следует ни из одной теоремы. В данном случае необходимо применить несколько теорем, свойств, признаков, чтобы перейти к новому выражению.

• Алгебраическое доказательство. В данном подходе к заданию геометрии будет немного, следует больше поработать с алгеброй. А именно, подстановка значений, преобразование выражений, выражение одной переменной через другую.

Критерии оценивания

2 балла	Ход решения верный, получен верный ответ.
1 балл	Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена описка или ошибка вычислительного характера.
0 баллов	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
2 балла	Максимальный балл.

Пример

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение

Пусть O — центр данной окружности, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Точка касания M окружностей делит AC пополам, так как QM – радиус, проведенный в точку касания, образует прямой угол с касательной СА. А значит, является частью от высоты МВ равнобедренного треугольника. Высота тогда является и медианой, а значит, МА=СМ=6.

Соединим центры окружностей с вершиной А треугольника АВС. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис. Значит, лучи AQ и AO — биссектрисы смежных углов. Получаем, что угол САВ состоит из двух равных углов, и смежный к нему угол состоит из двух равных углов. Сумма смежных углов всегда 180 градусов.

В треугольнике АОQ угол ОАQ состоит из половинки САВ и половинки смежного к нему угла. Соответственно, угол OAQ равен половине развернутого угла, значит, он прямой.

Из прямоугольного треугольника OAQ, с учетом, что высоты из прямого угла равна среднему геометрическому отрезков, на которые гипотенуза разделилась, получаем:

\(\text{AM}^{2} = MQ \cdot MO\).

Из этого соотношения мы можем найти радиус окружности, вписанной в треугольник:

\(MQ = \frac{AM^{2}}{\text{MO}} = \frac{36}{8} = 4,5\) .

Ответ: 4,5