Задание 22

Необходимые умения

Второе задание в цепочке функций и графиков. Необходимо уметь строить графики, а также работать с параметром, анализировать возможные исходы построения, применять методы преобразования выражений, использовать графики функций для решения уравнений и систем.

Особенности задания

Чтобы полностью выполнить задание нужно сначала построить правильно график, затем поработать с параметром. Один балл можно получить уже за первый этап, но нужно быть внимательным. Если в ходе преобразования функции записали ОДЗ, то на графике обязательно отмечаем выколотые точки, иначе вторая часть задания будет нерешаема и, соответственно, за все задание поставят ноль баллов.

Типы функций

В данном задании может потребоваться построение следующих функций:

• Линейная

• Квадратная

• Функция обратной пропорциональности

• Функция корня

• Функция модуля

• Кусочно-заданная функция

• Функция окружности

Полезные советы

Решение задания разбивается на два этапа.

Первый – построение заданной функции. За данный график можно уже получить один балл, главное – отметить на рисунке все необходимые точки и масштаб.

Второй этап – найти значение параметра. Требуется проанализировать, какие значения может принимать переменная, для получения необходимого исхода. Ответом может являться одно или несколько чисел, и даже интервалы значений.

Критерии оценивания

2 балла	График построен верно, верно найдены искомые значения параметра.
1 балл	График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены.
0 баллов	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
2 балла	Максимальный балл.

Пример

(из демоверсии 2021 года)

Постройте график функции \(y = \frac{x^{4} - 13x^{2} + 36}{(x - 3)(x + 2)}\) и определите, при каких значениях с прямая y=c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Первый этап – построить заданный график. Перед нами непривычный тип функции, значит, нужно выполнить преобразования.

\(y = \frac{x^{4} - 13x^{2} + 36}{\left( x - 3 \right)\left( x + 2 \right)} = \frac{\left( х^{2} - 4 \right)\left( х^{2} - 9 \right)}{\left( x - 3 \right)\left( x + 2 \right)}\)

\(y = \frac{\left( х - 2 \right)\left( х + 2 \right)\left( х - 3 \right)\left( х + 3 \right)}{\left( x - 3 \right)\left( x + 2 \right)}\)

\(y = (х - 2)(х + 3) = х^{2} + х - 6\)

Но так как мы сократили на выражение с переменной, должны указать, что оно не равнялось нулю.

ОДЗ: \(х \neq - 2;х \neq 3\).

Таким образом, мы преобразовали выражение к виду параболы.

Построение по особым точкам:

\(х_{верш} = \frac{- b}{2a} = \frac{- 1}{2} = - 0,5\)

\(y_{верш} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = - 6,25\)

Точки пересечения оси ОХ:

\(\begin{matrix} х^{2} + х - 6 = 0 \\ D = 1 + 24 = 25 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{- 1 + 5}{2} = 2 \\ x = \frac{- 1 - 5}{2} = - 3 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix}\)

Пересечение с осью ОУ: при у=-6.

Отмечаем эти точке на координатной плоскости и соединяем, получаем график, на котором обязательно отмечаем точки, выколотые из-за ОДЗ:

Балл мы уже заработали. Приступаем ко второму этапу задания.

Функция у=с – это прямая, параллельная оси ОХ. Она будет иметь одну общую точку с параболой, если будет проходить через вершину параболы. Ордината вершины параболы была рассчитана раннее и равна -6,25.

Одна общая точка также будет, если прямую провести через выколотые точки. В этом случае мы пересекаем график только в одной из ветвей, ведь вторая выколота.

Найдем ординаты выколотых точек.

При х=2: \(y = 4 - 2 - 6 = - 4\)

При х=3: \(y = 9 + 3 - 6 = 6\)

Ответ: -4; 6; -6,25