Задание 20

Необходимые умения

Задание №20 – третье задание в цепочке уравнений и неравенств, уровень сложности повышается. Нужно уметь решать линейные, полные и неполные квадратные уравнения, дробно-рациональные уравнения, уравнения вида \(\left( x - a \right)\left( x - b \right) = 0\). Для сведения к знакомому виду уравнения следует применять методы группировки, вынесения общего множителя за скобки, метод замены переменной, а также формулы сокращенного умножения. В задании с неравенством следует знать метод интервалов, особенности работы при наличии корня, встречающегося четное количество раз.

Критерии оценивания

2 балла	Обоснованно получен верный ответ.
1 балл	Решение доведено до конца, но допущена описка или ошибка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
2 балла	Максимальный балл.

Обратите внимание, что вычислительной считается только ошибка, допущенная при счете. Пример не вычислительной ошибки:\(a\left( b + c \right) = ab + c\) – неумение работать с раскрытием скобок; неверно составленная сумма прогрессии (не учтены все ее члены, к примеру) и т.д.

Пример

(задание из демоверсии 2021 года)

Решите уравнение \(x^{4} = \left( 4x - 5 \right)^{2}\).

Решение

Если раскрыть сразу квадрат разности, то мы получим уравнение четвертой степени, для решения которого нужно знать новый алгоритм. Поэтому перенесем правое выражение влево, чтобы увидеть, какие преобразования еще возможны.

\(x^{4} - \left( 4x - 5 \right)^{2} = 0\)

\(\left( x^{2} \right)^{2} - \left( 4x - 5 \right)^{2} = 0\)

Перед нами разность квадратов, применив формулу сокращенного умножения, мы получим произведение множителей, равное нулю:

\(\left( x^{2} - \left( 4x - 5 \right) \right) - \left( x^{2} + \left( 4x - 5 \right) \right) = 0\)

\(\left( x^{2} - 4x + 5 \right)\left( x^{2} + 4x - 5 \right) = 0\)

Произведение множителей тогда дает ноль, когда хотя бы один из множителей ноль.

Если первое уравнение равно нулю:

\(x^{2} - 4x + 5 = 0\)

\(D = 16 - 20 = - 4 < 0\)

Дискриминант отрицательный, значит, корней нет.

Если второе уравнение равно нулю:

\(x^{2} + 4x - 5 = 0\)

\(D = 16 + 20 = 36\)

\(\begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} х = \frac{- 4 + 6}{2} = 1 \\ х = \frac{- 4 - 6}{2} = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix}\)

Если переменная равна 1 или -5, то выражение обращается в ноль, несмотря на то что первый множитель отличен от нуля. Значит, это и есть наши корни.

Ответ: -5;1