Задание 19

Необходимые умения

Задание 19 — это особое задание, близкое к олимпиадным. Для его решения необходимо знание числовых множеств и их свойств, умение решать уравнения в целых числах, а также необходимы базовые навыки из области комбинаторики.

Критерии оценивания

Задание 19 в основном содержит 3 пункта, и в последнем пункте необходимо привести обоснованное решение и пример. Таким образом, классическое решение задания 19 делится на 3 относительно независимых пункта, первые два из которых могут принести по 1 баллу, а третий пункт может принести сразу 2 балла.

Критерии оценивания выстраиваются следующим образом:

Содержание критерия	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение пункта а; – обоснованное решение пункта б; – искомая оценка в пункте в; – пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Пример

На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −12.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть написано на доске?

Решение

а) Пусть S – сумма всех чисел, а n – их количество.

Тогда среднее арифметическое всех чисел:

\(\frac{S}{n} = - 7.\ \ Выразим\ сумму:\ S = - 7n.\)

Пусть S₁ - сумма всех положительных чисел, а p - их количество. Тогда среднее арифметическое всех положительных чисел:

\(\frac{S_{2}}{p} = 6.\)

Сумма всех положительных чисел: \(S_{2} = 6p.\)

S₂ - сумма всех отрицательных чисел, а m - их количество. Тогда среднее арифметическое отрицательных чисел:

\(\frac{S_{2}}{m} = - 12.\)

Сумма всех отрицательных чисел:

\(S_{2} = - 12m.\)

Сумма всех чисел равна сумме отрицательных положительных чисел.

\(S = S_{1} + S_{2}\)

\(- 7n = 6p - 12m\)

Числа n, p, m - целые и положительные, т.к. кол-во чисел не может быть отрицательным или нецелым.

Решим уравнение в целых числах:

\(- 7n = 6(p - 2m)\)

Из уравнения получаем, что число 7n должно делиться на 6. 7 не делится на 6, значит, на 6 должно делиться количество всех чисел.

Т.к. на доске написано более 42, но менее 54 целых чисел, найдем в этом промежутке число, делящееся на 6.

На 6 делится только 48.

Ответ в пункте а) 48 чисел.

б) Подставим n = 48 в уравнение. Получим:

\(- 336 = 6p - 12m.\ Выразим\ p.\)

\(6p = 12m - 336\)

\(p = 2m - 56\)

Т.к. количество чисел не может быть отрицательным, правая часть уравнения должна быть больше нуля.

\(2m - 56 > 0.\ m > 28.\)

Тогда минимальное количество отрицательных чисел:

\(m = 29.\)

Подставим в уравнение, получим, что \(p = 2.\) Максимальное количество отрицательных чисел равно количеству всех чисел, т.е. 48. Тогда\(\ p = 40\). Видим, что при любых возможных значениях, отрицательных чисел будет больше, чем положительных.

Ответ на пункт б): Отрицательных чисел больше.

в) Т.к. всего на доске может быть 48 чисел. С учётом нулей, количество положительных и отрицательных в сумме не может превышать 48.

Составим систему:

\(\left\{ \begin{matrix} p = 2m - 56 \\ p + m \leq 48 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Подставим первое уравнение в неравенство.

\(2m - 56 + m \leq 48\)

\(3m \leq 104\)

\(m \leq 34\frac{2}{3}\)

Таким образом, максимальное количество отрицательных чисел равно 34.

Необходимо привести пример такой ситуации.

Возьмём 34 отрицательных числа и 12 положительных. Чтобы среднее арифметическое отрицательных чисел было равно (-7), возьмем 34 числа «-7». Аналогично с положительными числами. Возьмем 12 чисел «6». А также у нас будет два числа «0». Проверим, что их сумма равна 336.

Ответ на пункт в): Максимальное количество отрицательных чисел равно 34.

Пример: 34 числа «-7», 12 чисел «6», 2 числа «0».

Ответ:

а) 48

б) Отрицательных чисел больше

в) Наибольшее количество отрицательных чисел равно 34.

Пример: 34 числа «-7», 12 чисел «6»,2 числа «0».