Векторы в пространстве

Векторы в пространстве

В целом работа с векторами в пространстве аналогична векторам на плоскости. Разница лишь в том, что на плоскости у нас две взаимно перпендикулярных координатных оси, а в пространстве к ним добавляется третья. Её принято обозначать как ось $\text{Oz}$, а называется она аппликатой. Её единичным вектором является вектор $\overrightarrow{k}$.

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ:

Рассмотрим координатную плоскость $Oxy$, образованную соответственно осями $\text{Ox}$ и $Oy$:

Если мы хотим сделать нашу координатную плоскость координатным пространством, нам нужно добавить третью ось $\text{Oz}$ так, чтобы её ноль находился в точке $O$ и была перпендикулярна плоскости $\text{Oxy}$, тогда она будет взаимно перпендикулярна и оси $\text{Ox}$, и оси $\text{Oy}$:

При этом каждая из осей имеет направление. Перед нами встает вопрос: какое направление будет у третьей оси – вверх или вниз?

На самом деле оба этих расположения существуют и применяются математиками. В зависимости от направления третьей оси меняются правила работы с координатным пространством.

• Если смотрим с положительного конца оси $\text{Oz}$ на плоскость $Oxy$ и видим, что от положительного конца $\text{Ox}$ до положительного конца $\text{Oy}$ мы движемся против часовой стрелки, тогда такая система координат называется правой:

• Если смотрим с положительного конца оси$\text{\ Oz}$ на плоскость$\text{\ O}xy$ и видим, что от положительного конца $\text{Ox}$ до положительного конца $\text{Oy}$ мы движемся по часовой стрелке, тогда такая система координат называется левой:

В рамках изучения школьной программы математики используют правую координатную плоскость.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ:

Аналогично координатам вектора на плоскости, координаты вектора состоят из единичных векторов $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ и $\overrightarrow{k}$, которые отложены с координатами $x,\ y$ и $z$ соответственно:

Любой вектор в пространстве имеет координаты

$\left\{ x\overrightarrow{i};y\overrightarrow{j};z\overrightarrow{k} \right\}$

Если координаты вектора записываются с конкретными значениями, то единичные векторы опускаются, например:

$\overrightarrow{a}\left\{ 5; - 2;8 \right\}$

Мы понимаем, что первое число откладывается по оси абсцисс, второе – оси ординат, а третье – по оси аппликат.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ:

Координаты суммы двух векторов являются суммой соответствующих координат.

$\overrightarrow{a}\left\{ x_{1}\ \overrightarrow{i};y_{1}\overrightarrow{j};z_{1}\overrightarrow{k} \right\}$

$\overrightarrow{b}\left\{ x_{2}\ \overrightarrow{i};y_{2}\overrightarrow{j};z_{2}\overrightarrow{k} \right\}$

$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \Longrightarrow \overrightarrow{c}\left\{ {(x}_{1} + x_{2})\ \overrightarrow{i};{(y}_{1} + y_{2})\overrightarrow{j};\left( z_{1} + z_{2} \right)\overrightarrow{k} \right\}$

Найдите координаты вектора $\overrightarrow{c}$, если известно, что

$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{a}\left\{ 2; - 3;1 \right\}$

$\overrightarrow{b}\left\{ - 1;2;0 \right\}$

1. Каждая координата вектора $\overrightarrow{c}$ равна сумме соответствующих координат векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$:

$\overrightarrow{c} = \left\{ 2 - 1; - 3 + 2;1 + 0 \right\}$

$\overrightarrow{c} = \left\{ 1; - 1;1 \right\}$

Ответ: $\overrightarrow{c}\left\{ 1; - 1;1 \right\}$.

Аналогично можно найти координаты одного из слагаемых суммы векторов.

Найдите координаты вектора $\overrightarrow{b}$, если известно, что

$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{a}\left\{ 2; - 3;1 \right\}$

$\overrightarrow{c}\left\{ 1; - 1;1 \right\}$

1. По правилам сложения векторов выразим $\overrightarrow{b}$ через векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{c}$:

$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$

2. Найдем координат вектора $\overrightarrow{b}$:

$\overrightarrow{b} = \left\{ 1 - 2; - 1 + 3;1 - 1 \right\}$

$\overrightarrow{b} = \left\{ - 1;2;0 \right\}$

Ответ: $\overrightarrow{b}\left\{ - 1;2;0 \right\}$.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ И ЧИСЛА:

Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующей координаты данного вектора на это число.

$\overrightarrow{a}\left\{ x_{1}\ \overrightarrow{i};y_{1}\overrightarrow{j};z_{1}\overrightarrow{k} \right\}$

$k\overrightarrow{a}\left\{ kx_{1}\ \overrightarrow{i};ky_{1}\overrightarrow{j};\text{kz}_{1}\overrightarrow{k} \right\}$

Найдите координат вектора $\overrightarrow{c},$ если

$\overrightarrow{a}\left\{ - 3;0;2 \right\}$

$\overrightarrow{b}\left\{ 4; - 2;2 \right\}$

$\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

1. Найдем координаты каждого слагаемого:

$2\overrightarrow{a} = \left\{ 2 \bullet ( - 3);2 \bullet 0;2 \bullet 2 \right\}$

$2\overrightarrow{a}\left\{ - 6;0;4 \right\}$

$\frac{1}{2}\overrightarrow{b} = \left\{ \frac{1 \bullet 4}{2};\frac{1 \bullet ( - 2)}{2};\frac{1 \bullet 2}{2} \right\}$

$\frac{1}{2}\overrightarrow{b} = \left\{ 2; - 1;1 \right\}$

2. Теперь найдем разность векторов $2\overrightarrow{a} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$ Полученные координаты будут равны вектору $\overrightarrow{c}$:

$2\overrightarrow{a} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b} = \left\{ - 6 - 2;0 + 1;4 - 1 \right\}$

$\overrightarrow{c} = \left\{ - 8;1;3 \right\}$

Ответ: $\overrightarrow{c} = \left\{ - 8;1;3 \right\}$.

ДЛИНА ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ:

Зная координаты вектора в пространстве, можно посчитать его длину по следующей формуле:

$\overrightarrow{a}\left\{ x_{1}\ \overrightarrow{i};y_{1}\overrightarrow{j};z_{1}\overrightarrow{k} \right\}$

$\left| \overrightarrow{a} \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Найдите длину векторов

$\overrightarrow{m}\left\{ 2; - 5; - 8 \right\}$

$\overrightarrow{n}\left\{ 15;3;11 \right\}$

1. Найдем длину вектор $\overrightarrow{n}$:

$\left| \overrightarrow{n} \right| = \sqrt{2^{2} + \left( - 5 \right)^{2} + \left( - 8 \right)^{2}} = \sqrt{4 + 25 + 64} = \sqrt{93}$

2. Найдем длину вектор $\overrightarrow{m}$:

$\left| \overrightarrow{n} \right| = \sqrt{15^{2} + 3^{2} + 11^{2}} = \sqrt{225 + 9 + 121} = \sqrt{355}$

Ответ: $\sqrt{93}$; $\sqrt{355}$.