Сечения в многогранниках

Сечение – планиметрическая фигура, образованная рассечением объемного тела.

Сечение должно образовывать единую фигуру (быть замкнутым). Построение сечения делается по строгим правилам и принципам, которые, в свою очередь, основываются на аксиомы и теоремы стереометрии.

Сечения многогранников

Сечение многогранника плоскостью - плоский многоугольник, у которого:

вершины принадлежат ребрам,

а стороны – граням многогранника.

Две соседние вершины сечения принадлежат одной грани многогранника.

Принципы построения сечения многогранников

Если две точки сечения принадлежат одной грани, то эти точки можно соединить.

Лежащие в основе аксиомы и свойства:

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Примеры:

Если известна линия, по которой плоскость пересекает одну из параллельных граней, то вторую грань плоскость пересечет по линии, параллельной данной.

Лежащие в основе аксиомы и свойства:

Две параллельные прямые образуют плоскость и притом только одну.

Через точку можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Большое значение для этого принципа имеет именно третье свойство – свойство параллельных плоскостей.

Пример:

МЕТОД СЛЕДОВ

Особенным методом построения сечений в многогранниках является метод следов. Для начала разберемся, что такое «след».

След – прямая l

След плоскости \(\mathbf{\text{\ β}}\) на плоскости \(\mathbf{\alpha}\) – прямая, по которой плоскость \(\beta\) пересекает плоскость \(\alpha\).

След – точка M

След прямой l на плоскости \(\mathbf{\alpha}\) – точка пересечения прямой l с плоскостью \(\alpha\).

Суть метода: уже известные стороны сечения на гранях многогранника мы продолжаем за пределы стереометрической фигуры до пересечения с ребрами многогранника. Благодаря этому мы получаем «следы» этих прямых на гранях многогранника, то есть точки. Получив две точки на одной грани, мы, воспользовавшись первым принципом, можем их соединить.

Пример: