Maximumtest Logo
  • ОГЭ/ЕГЭ
  • Профориентация
  • Школа MAXIMUM
  • IT-колледж
  • О нас

Натуральные числа и действия с ними

Натуральные числа и действия с ними

Натуральные числа – это те числа, которые применяются для счета (1, 2, 3, 4).1,\ 2,\ 3,\ 4\ldots). Каждое следующее натуральное число больше предыдущего на 1.

Самое маленькое натуральное число (натурального ряда) – 1, самого большого числа нет, потому что натуральный ряд можно продолжать бесконечно.

Ноль НЕ является натуральным числом!

КАК ЧИТАТЬ НАУТРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА:

  1. Значность натуральных чисел.

  • Если натуральное число состоит из одной цифры – такое число однозначное (4, 8, 2, 7);

  • Если натуральное число состоит из двух цифр – такое число двузначное (14, 28, 67, 93);

  • Если натуральное число состоит из трёх цифр – такое число трёхзначное (185, 681, 792, 999);

И так далее числа могут быть четырёх- пяти- шестизначные.

  1. Разряды и классы.

  • Разряды:

Существует три разряда чисел: сотни, десятки и единицы, слева направо.

Например число 486 имеет 4 сотни, 8 десятков и 6 единиц.

  • Классы:

Три разряда натурального числа (сотни единицы и десятки вместе) образуют классы (единицы, тысячи, миллионы, миллиарды и так далее).

Например, число 13 615 000 706:

При произношении числа читаются все классы кроме единиц. Разряды не читаются. Те классы, где все числа равны 0 – тоже не читаются.

Получим что 13 615 000 706 – это 13 миллиардов 615 миллионов 706

СЛОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ:

Сложить два натуральных числа – это значит прибавить к одному числу количество единиц второго числа:

5+3=5+1+1+1=6+1+1=7+1=85 + 3 = 5 + 1 + 1 + 1 = 6 + 1 + 1 = 7 + 1 = 8

Если a + b = c, то a и b – слагаемые, а c – сумма

Например, 5+3=8: 5 + 3 = 8:\

5 – первое слагаемое, 3 – второе слагаемое, 8 – их сумма.

СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ:

  1. Сумма чисел не меняется при перестановке слагаемых (переместительное свойство):

a+b=b+aa + b = b + a

Например: 4+2=2+4=6.4 + 2 = 2 + 4 = 6.

  1. Чтобы прибавить к числу сумму двух других чисел, надо прибавить первое слагаемое этой суммы, а оптом второе (сочетательное свойство):

a+(b+c)=a+b+ca + (b + c) = a + b + c

Например: 2+(7+1)=2+7+1=9+1=10 или (7+1)+2=7+1+2=8+2=10.2 + (7 + 1) = 2 + 7 + 1 = 9 + 1 = 10\ или\ (7 + 1) + 2 = 7 + 1 + 2 = 8 + 2 = 10.

  1. От прибавления числа 0 сумма не меняется:

a+0=aa + 0 = a

Например: 6+0=6.6 + 0 = 6.

ВЫЧИТАНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ:

Вычитание – это действие, с помощью которого мы находим одно слагаемое, зная второе и их сумму.

2+?=62 + ? = 6

62=46–2 = 4

Если ca=b\mathbf{c}\mathbf{–}\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{b}, то с – уменьшаемое, a – вычитаемое, а b – разность.

Например, 62=4:,\ 6–2 = 4:

6 – уменьшаемое, 3 – вычитаемое, 8 – их разность.

При действиях с натуральными числами вычитаемое не может быть больше уменьшаемого.

Таким образом разность чисел показывает, НА сколько уменьшаемое больше вычитаемого.

СВОЙСТВА ВЫЧИТАНИЯ:

  1. Вычитание суммы из числа – чтобы вычесть из числа сумму двух других, можно вычесть сначала первое слагаемое, а потом второе:

a(b+c)=abca–(b + c) = a–b–c

Например: 8 –(3+2)=832=52=3.8\ –(3 + 2) = 8–3–2 = 5–2 = 3.

  1. Вычитание числа из суммы – чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого и прибавить к полученной разности второе:

(a+b)c=a+bc=(bc)+a=(ac)+b(a + b)–c = a + b–c = (b–c) + a = (a–c) + b

Например: (6+3)2=6+32=6+(32)=6+1=7.(6 + 3)–2 = 6 + 3–2 = 6 + (3–2) = 6 + 1 = 7.

  1. Если из числа вычесть 0, то разность не изменится:

a0=aa–0 = a

Например: 70=7.7–0 = 7.

  1. Если из числа вычесть его же, то получится 0:

aa=0a–a = 0

Например: 44=0.4–4 = 0.

УМНОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ:

Умножить число n на число m – значить найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Например:

253 = 25+25+25=7525 \bullet 3\ = \ 25 + 25 + 25 = 75

Мы нашли сумму трёх слагаемых, каждое из которых равно 25 (n=3,  m=25).25\ (n = 3,\ \ m = 25).

Если mn = k\mathbf{m \bullet n\ = \ k}, то m и n – множители, а k – их произведение.

Например: 253=7525 \bullet 3 = 75, 25 – первый множитель, 3 – второй множитель, 75 – произведение.

СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ:

  1. Произведение не меняется от перестановки множителей:

ab=baa \bullet b = b \bullet a

Например: 47=74=284 \bullet 7 = 7 \bullet 4 = 28.

  1. Чтобы умножить число на произведение двух других чисел, можно умножить число на один множитель, а потом на второй:

a(bc)=abca \bullet (b \bullet c) = a \bullet b \bullet c

Например: 2(53)=253=1032 \bullet (5 \bullet 3) = 2 \bullet 5 \bullet 3 = 10 \bullet 3.

  1. Произведение числа и 1 равно этому числу:

a1=aa \bullet 1 = a

Например: 41=44 \bullet 1 = 4.

  1. произведение числа на 0 равно 0:

a0=0a \bullet 0 = 0

Например: 90=09 \bullet 0 = 0.

СОКРАЩЕННАЯ ЗАПИСЬ УМНОЖЕНИЯ:

Перед буквенными множителями и скобками не ставят знак умножения, например:

7x=7x7 \bullet x = 7x

abc=abca \bullet b \bullet c = abc

(a+8)(b –4 )=(a+b)(b –4)(a + 8) \bullet (b\ –4\ ) = (a + b)(b\ –4)

2(9 –x)=2(9 – x)2 \bullet (9\ –x) = 2(9\ –\ x)

ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ:

Деление – это действие, с помощью которого мы находим один множитель, зная второй и их произведение.

Например:

12 ? =3612 \bullet \ ?\ = 36

36:12=336 : 12 = 3

Если k:n=m\mathbf{k}\mathbf{: n = m}, то k – делимое, n – делитель, а m – их частное.

Например: 36:12=336 : 12 = 3, 36 – делимое, 12 – делитель, 3 – частное.

Частное показывает ВО сколько раз делимое больше делителя.

В действиях с натуральными числами делимое – самое большое число в уравнении. Оно находится произведением делителя и частного. Например:

x :3=4x\ :3 = 4

x=34=12x = 3 \bullet 4 = 12

Чтобы найти делитель, нужно поделить делимое на частное:

15:x=315 : x = 3

x=15:3=5x = 15 : 3 = 5

СВОЙСТВА ДЕЛЕНИЯ:

  1. При делении любого числа на 1 получается это же число:

a:1=aa : 1 = a

Например: 6:1=66 : 1 = 6

  1. При делении числа на такое же, получается 1:

a:a=1a : a = 1

Например: 5:5=15 : 5 = 1

  1. При делении 0 на любое число получится 0:

0:a=00 : a = 0

Например: 0:17=00 : 17 = 0

  1. На ноль делить нельзя!

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ:

  1. Сначала выполняются действия в скобках, если они есть.

  2. Дальше выполняется умножение и деление. Если таких действий несколько, они обычно выполняются слева направо (хотя для упрощения счёта порядок можно менять, но только внутри однородных операций, не связанных скобками).

  3. После этого выполняется сложение и вычитание. (хотя для упрощения счёта порядок можно менять, но только внутри однородных операций, не связанных скобками).

  4. Если в скобках несколько действий, они выполняются в том же порядке, что и в пунктах 1, 2 и 3.

Например:

19+48:3 – (28 – 13)2=19 + 48 : 3\ –\ (28\ –\ 13) \bullet 2 =

1) Действие в скобках: 2813=1528–13 = 15

2) Слева направо первым идёт деление:

48 :3=1648\ :3 = 16

3) После него умножение: 152=3015 \bullet 2 = 30

4) Теперь сложение и вычитание. Первое слева сложение: 19+16=3519 + 16 = 35

5) Последнее – вычитание: 3530=535–30 = 5

19+48:3 – (28 – 13)2=519 + 48 : 3\ –\ (28\ –\ 13) \bullet 2 = 5

play
Урок пройден! Продолжай изучать предмет дальше -> там интересно :)

Содержание