Задание 24

Необходимые умения

Для получения полного балла в данном номере нужно знать все теоремы, ситуации их применения, признаки элементов и геометрических фигур.

Особенности задания

Формат задания всегда один – доказательство. По праву он считается сложным, так как доказательство требует строго последовательных действий, чтобы не осталось сомнений в утверждении.

Полезные советы

Задания на доказательство могут быть нескольких форматов:

• Прямое доказательство. В данном случае просят доказать свойство, признак, который действительно существует. Вопрос задачи нас сразу и наталкивает на шаги решения.
• Доказательство с переходом. В данном случае просят доказать выражение, соотношение, которое не следует ни из одной теоремы. В данном случае необходимо применить несколько теорем, свойств, признаков, чтобы перейти к новому выражению.
• Алгебраическое доказательство. В данном подходе к заданию геометрии будет немного, следует больше поработать с алгеброй. А именно, подстановка значений, преобразование выражений, выражение одной переменной через другую.

Критерии оценивания

Пример

(задание из демоверсии 2021 года)

В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Решение

Прямоугольник отличает от параллелограмма наличие углов по 90°. Попробуем доказать, что они здесь есть.

Известно много информации из двух треугольников ЕВС и АЕD. Рассмотрим их внимательнее. Треугольники BEC и AED равны по трём сторонам. Откуда следует, что все элементы равны. Значит, углы CBE и DAE равны. Причем, они являются односторонними при параллельных прямых ВС и АD и секущей АВ. Значит, их сумма равна 180°. А так как они равны, то градусная мера одного угла 90°.

Получили, что два угла прямых, значит и углы С и D будут по 90°, что следует из свойств односторонних углов при параллельных прямых. Такой параллелограмм — прямоугольник. Что и требовалось доказать.

Ответ: что и требовалось доказать