Позиционные системы счисления

Системы счисления — одна из самых базовых тем в информатике, в этой теме надо разбираться по порядку.

Допустим, необходимо посчитать количество цветов на поляне. Можно загибать пальцы, делать зарубки на дереве, как это делали древние люди, и так далее. Можно сделать вывод, что форма счета может быть любой, также, как и форма записи. Для способа записи чисел ввели такое понятие, как система счисления.

Существует два типа систем счисления:

• Непозиционная (римская и египетская системы счисления)
• Позиционная (арабская десятичная система счисления, двоичная и т.д.)

Нас будут интересовать именно позиционные системы счисления с различными основаниями. Самые популярные системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная. Позиционные системы счисления основаны на том, что «вес» цифры зависит от её положения — или позиции — в числе, отсюда и такое название. Для успешной подготовки к экзамену необходимо уметь переводить любое число из десятичной системы счисления в любую другую n‑ричную и из n‑ричной в десятичную. Далее приведена информация по каждому случаю.

Десятичная система счисления

Исторически сложилось, что это самая распространенная система счисления. Именно её мы используем, когда мы делаем покупки в магазине, набираем номер телефона или открываем страницу в книге. На каждой позиции может стоять только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием (то есть, количество цифр) является число 10. Это значит, что «вес» любой цифры в числе будет кратен 10 в степени, равной позиции этой цифры. При этом позиции (их называют разрядами) отсчитываются с правого конца числа, начиная с нуля.

Пример. Чтобы разобраться подробнее, возьмем число 123. Давайте «разложим» это число по разрядам. Для этого каждую цифру числа умножим на основание системы, в данном случае число 10, возведенное в степень, равную номеру разряда. Цифра 3 стоит в нулевом разряде, цифра 2 — в первом, а цифра 1 — во втором. Получается, значение равно:

1 * 10² + 2 * 10¹ + 3 * 10⁰ = 100 + 20 + 3 = 123.

При работе с разными системами счисления, чтобы избежать путаницы, справа от числа приписывают нижний индекс с основанием: 123₁₀.

Двоичная система счисления

Эта система счисления используется в вычислительной технике. Десятичную систему счисления в компьютерах не стали использовать, потому что требовалось производство устройств, способных работать в десяти состояниях, а это сильно увеличило бы цену и размер таких устройств. Двоичная же система позволяла экономить на всем.

Двоичная система счисления, как следует из названия, имеет основание 2 и использует только цифры 0 и 1.

Для того, чтобы перевести число из 2-ичной в 10-ичную систему счисления, необходимо точно так же «разложить» число на разряды, т.е. каждую цифру двоичного числа умножить на основание 2, возведенное в степень, равную разряду:

1001₂ = 1 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 8 + 0 + 0 + 1 = 9.

Точно так же выполняется перевод из любой n-ричной системы счисления в десятичную. Для этого надо:

1. определить количество разрядов;

2. умножить каждую цифру n-ричной системы счисления на основание «n», возведенное в степень, равную разряду.

Пример. Посмотрим на то, как переводить число из десятичной системы счисления в n-ричную. Сейчас сделаем это опять на примере двоичной системы.

Для этого надо последовательно делить число 240 на 2, фиксируя получающиеся остатки (удобнее всего делать это «лесенкой»), пока не дойдем до последнего частого, которое на 2 уже не делится. Это будет первая цифра числа в двоичной системе. А остальные цифры — это получившиеся остатки, записанные в обратном порядке:

Осталось записать обведенные кружком цифры в обратном порядке, начиная с самой правой (выделена жирным). Получаем, что число 240₁₀ = 11110000₂.

Точно так же выполняется перевод из десятичной системы счисления в любую n-ричную. Для этого надо:

1. целую часть числа последовательно делить на основание новой системы счисления, пока не останется число или цифра, которая уже делиться не будет;
2. эта оставшаяся цифра будет первой цифрой нового числа. Остальные цифры — это остатки от всех делений, записанные в обратном порядке.

Восьмеричная система счисления

Имеет основание 8, использует цифры от 0 до 7.

Для того, чтобы перевести из восьмеричной системы счисления в десятичную, необходимо умножить каждую цифру восьмеричного числа на основание 8, возведенное в степень, равную разряду.

Перевод из десятеричной системы счисления в восьмеричную осуществляется аналогично переводу в двоичную, только делителем в данном случае является 8.

Шестнадцатеричная система счисления

Имеет основание 16, использует цифры от 0 до 9 и буква A, B, C, D, E, F, где буква А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15.

Для того, чтобы перевести из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную, нужно необходимо умножить каждую цифру восьмеричного числа на основание 16, возведенное в степень, равную разряду.

Для того, чтобы перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную, нужно целую часть числа находить делением на основание новой.

Перевод между системами счисления, основания которых являются степенью двойки.

Для перевода чисел, записанных в восьмеричной системе в двоичный код, необходимо каждую цифру восьмеричного числа представить триадой двоичных символов.

Триады и тетрады переводятся, начиная с конца числа (т.е. с младших разрядов). Если крайние триады (тетрады) оказались неполными, они дополняются нулями. Если при переводе в двоичную систему в начале числа (слева) возникают нули, их следует отбросить (они незначащие).

Таблица с триадами и тетрадами, которую надо знать наизусть.