Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Информатика

Позиционные системы счисления

Системы счисления — одна из самых базовых тем в информатике, в этой теме надо разбираться по порядку.

Допустим, необходимо посчитать количество цветов на поляне. Можно загибать пальцы, делать зарубки на дереве, как это делали древние люди, и так далее. Можно сделать вывод, что форма счета может быть любой, также, как и форма записи. Для способа записи чисел ввели такое понятие, как система счисления.

Существует два типа систем счисления:

  • Непозиционная (римская и египетская системы счисления)

  • Позиционная (арабская десятичная система счисления, двоичная и т.д.)

Нас будут интересовать именно позиционные системы счисления с различными основаниями. Самые популярные системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная. Позиционные системы счисления основаны на том, что «вес» цифры зависит от её положения — или позиции — в числе, отсюда и такое название. Для успешной подготовки к экзамену необходимо уметь переводить любое число из десятичной системы счисления в любую другую n‑ричную и из n‑ричной в десятичную. Далее приведена информация по каждому случаю.

Десятичная система счисления

Исторически сложилось, что это самая распространенная система счисления. Именно её мы используем, когда мы делаем покупки в магазине, набираем номер телефона или открываем страницу в книге. На каждой позиции может стоять только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием (то есть, количество цифр) является число 10. Это значит, что «вес» любой цифры в числе будет кратен 10 в степени, равной позиции этой цифры. При этом позиции (их называют разрядами) отсчитываются с правого конца числа, начиная с нуля.

Пример. Чтобы разобраться подробнее, возьмем число 123. Давайте «разложим» это число по разрядам. Для этого каждую цифру числа умножим на основание системы, в данном случае число 10, возведенное в степень, равную номеру разряда. Цифра 3 стоит в нулевом разряде, цифра 2 — в первом, а цифра 1 — во втором. Получается, значение равно:

1 * 102 + 2 * 101 + 3 * 100 = 100 + 20 + 3 = 123.

При работе с разными системами счисления, чтобы избежать путаницы, справа от числа приписывают нижний индекс с основанием: 12310.

Двоичная система счисления

Эта система счисления используется в вычислительной технике. Десятичную систему счисления в компьютерах не стали использовать, потому что требовалось производство устройств, способных работать в десяти состояниях, а это сильно увеличило бы цену и размер таких устройств. Двоичная же система позволяла экономить на всем.

Двоичная система счисления, как следует из названия, имеет основание 2 и использует только цифры 0 и 1.

Пример. Возьмем число 1001 — это число 9 в десятичной системе счисления.

Для того, чтобы перевести число из 2-ичной в 10-ичную систему счисления, необходимо точно так же «разложить» число на разряды, т.е. каждую цифру двоичного числа умножить на основание 2, возведенное в степень, равную разряду:

10012 = 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9.

Точно так же выполняется перевод из любой n-ричной системы счисления в десятичную. Для этого надо:

1. определить количество разрядов;

2. умножить каждую цифру n-ричной системы счисления на основание «n», возведенное в степень, равную разряду.

Пример. Посмотрим на то, как переводить число из десятичной системы счисления в n-ричную. Сейчас сделаем это опять на примере двоичной системы.

Пусть нужно перевести число 24010 в двоичную систему счисления.

Для этого надо последовательно делить число 240 на 2, фиксируя получающиеся остатки (удобнее всего делать это «лесенкой»), пока не дойдем до последнего частого, которое на 2 уже не делится. Это будет первая цифра числа в двоичной системе. А остальные цифры — это получившиеся остатки, записанные в обратном порядке:

Осталось записать обведенные кружком цифры в обратном порядке, начиная с самой правой (выделена жирным). Получаем, что число 24010 = 111100002.

Точно так же выполняется перевод из десятичной системы счисления в любую n-ричную. Для этого надо:

  1. целую часть числа последовательно делить на основание новой системы счисления, пока не останется число или цифра, которая уже делиться не будет;

  2. эта оставшаяся цифра будет первой цифрой нового числа. Остальные цифры — это остатки от всех делений, записанные в обратном порядке.

Восьмеричная система счисления

Имеет основание 8, использует цифры от 0 до 7.

Для того, чтобы перевести из восьмеричной системы счисления в десятичную, необходимо умножить каждую цифру восьмеричного числа на основание 8, возведенное в степень, равную разряду.

Пример. 6718 = 6 * 82 + 7 * 81 + 1 * 80 = 384 + 56 + 1 = 44110.

Перевод из десятеричной системы счисления в восьмеричную осуществляется аналогично переводу в двоичную, только делителем в данном случае является 8.

Пример. Пусть надо перевести число 16310 в восьмеричную систему:

Получаем, что 16310 = 2438.

Шестнадцатеричная система счисления

Имеет основание 16, использует цифры от 0 до 9 и буква A, B, C, D, E, F, где буква А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15.

Для того, чтобы перевести из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную, нужно необходимо умножить каждую цифру восьмеричного числа на основание 16, возведенное в степень, равную разряду.

Пример. 12716 = 1 * 162 + 2 * 161 + 7 * 160 = 256 + 32 + 7 = 29510.

Для того, чтобы перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную, нужно целую часть числа находить делением на основание новой.

Пример. 19110 переведем в шестнадцатеричную систему:

Получаем, что 19110 = BF16

Перевод между системами счисления, основания которых являются степенью двойки.

Для перевода чисел, записанных в восьмеричной системе в двоичный код, необходимо каждую цифру восьмеричного числа представить триадой двоичных символов.

Триады — числа, состоящие из трех цифр, грубо говоря, это перевод восьмеричных чисел от 0 до 7 в двоичную систему счисления.

Тетрады состоят из четырех, и это, грубо говоря, перевод шестнадцатеричных чисел от 0 до F в двоичную систему счисления.

Триады и тетрады переводятся, начиная с конца числа (т.е. с младших разрядов). Если крайние триады (тетрады) оказались неполными, они дополняются нулями. Если при переводе в двоичную систему в начале числа (слева) возникают нули, их следует отбросить (они незначащие).

Пример. 123456678 = 001 010 011 100 101 110 110 1112 = 1 010 011 100 101 110 110 1112

Таблица с триадами и тетрадами, которую надо знать наизусть.

Число Триада Тетрада
0 000 0000
1 001 0001
2 010 0010
3 011 0011
4 100 0100
5 101 0101
6 110 0110
7 111 0111
8 1000
9 1001
A (10) 1010
B (11) 1011
C (12) 1100
D (13) 1101
E (14) 1110
F (15) 1111