Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Виды треугольников Метод координат на плоскости Площади четырёхугольников Многоугольники Трапеция Теорема синусов и теорема косинусов Тригонометрия в геометрии Высота Четыре замечательные точки треугольника Серединный перпендикуляр Теорема Пифагора Подобие фигур Равенство фигур Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Элементы планиметрии Треугольники. Площади Движения Прямоугольник Векторы Окружнoсть и круг Параллелограммы Комбинации с окружностью Медиана Прямые и углы на плоскости Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Отношения в геометрии Квадрат Ромб Биссектриса Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Менелая и теорема Чевы Площадь круга и сектора круга Скалярное произведение векторов Средняя линия
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства
Числа и действия с ними
Делимость Смешанные дроби и действия с ними Модуль Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Правила счёта
Формат ЕГЭ
Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Угол между прямой и плоскостью Пирамиды Векторы в пространстве Расстояние от точки до плоскости Расстояние от прямой до плоскости Сечения в многогранниках Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Движения в пространстве Призмы Тела вращения Двугранный угол Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей
Анализ функций
Функции Координатная плоскость Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Графическое применение производной Квадратичная функция Смысл производной Свойства функций Экстремумы Линейная функция Кусочная функция Интеграл Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Графики тригонометрических функций Правила дифференцирования
Реальная математика
Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Вероятность Основы математической статистики Геометрическая прогрессия Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по воде Множества Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на доли и дроби Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Комбинаторика Экономические задачи. Ценные бумаги
Уравнения
Показательные уравнения Логарифмические уравнения Линейные уравнения Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения с модулем Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Однородные уравнения Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций
Формулы и выражения
Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Многочлены Степени Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Одночлены Тригонометрический круг Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции

Задание 18

Необходимые умения

Задание 18— это завершающее задание в цепочке уравнений и неравенств

6 – 7 – 13 – 15 – 18.

Для его решения необходимы навыки решения неравенств, работы с графиками функций, а также умение работать с параметром.

Задание 18 может содержать общий вопрос – решите уравнение при всех значения параметра (в таком случае необходимо найти все возможные решения уравнения, в зависимости от значения параметра) и специальный вопрос – при каких значениях параметра уравнение/неравенство, например, имеет два корня. Намного чаще встречается второй тип вопроса.

Критерии оценивания

Критерии сильно зависят от задания. Например, для задания из демоверсии представлены следующие критерии оценивания:

Содержание критерия Баллы
Обоснованно получен верный ответ 4

С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но

– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;

– или решение недостаточно обосновано

 3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра 2

Задача сведена к исследованию:

– или взаимного расположения трёх окружностей;

– или двух квадратных уравнений с параметром

 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 4

Пример

При каких значениях параметра a корни уравнения

имеют одинаковые знаки?

Решение

Решим графически. Построим графики левой и правой части в плоскости XY.

Первое семейство:

y = |x – a2|

задает систему «уголков», стороны которых образуют углы в 45 градусов с осью абсцисс. Все вершины находятся на оси ОХ справа от начала координат, т. к. по правилам преобразований функций

x – a2 сдвигается вправо на положительное число a2.

Второе семейство

y = – a2 + 2a + 3

представляет собой множество прямых, параллельных оси абсцисс. Эти прямые должны пересекать «уголки» в точках, абсциссы которых имеют одинаковые знаки – именно эти точки и будут решениями уравнения.

Получаем следующий рисунок.

По рисунку определяем, что для выполнения поставленных условий прямые

y = – a2 + 2a + 3

должны быть выше оси Ох, но ниже точки пересечения графика функции\(\ \)y = |x – a2|

с Оу, иначе один из корней будет отрицательным. Точка пересечения функции с осью Оу это (0; a2).

Составим систему:

Изображение выглядит как текст Автоматически созданное описание

Для расстановки значений на числовой оси, сравним числа:

Изображение выглядит как текст Автоматически созданное описание

Получаем следующую числовую прямую.

Решение системы:

Ответ:

Изображение выглядит как текст Автоматически созданное описание