Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Координатная плоскость Преобразование графиков функции Кусочная функция Интеграл Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Первообразная Правила дифференцирования Линейная функция Смысл производной Графики тригонометрических функций Функции Экстремумы Функция квадратного корня Свойства функций Квадратичная функция
Неравенства
Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства
Числа и действия с ними
Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Координатная прямая НОК и НОД Делимость Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Формат ЕГЭ
Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ
Планиметрия
Биссектриса Высота Площади четырёхугольников Многоугольники Тригонометрия в геометрии Равенство фигур Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Ромб Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Площадь круга и сектора круга Подобие фигур Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Отношения в геометрии Параллелограммы Виды треугольников Движения Скалярное произведение векторов Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Окружнoсть и круг Трапеция Квадрат Теорема Пифагора Треугольники. Площади Метод координат на плоскости Прямоугольник Комбинации с окружностью Векторы Медиана Теорема синусов и теорема косинусов Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Серединный перпендикуляр Средняя линия
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Метод координат в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Призмы Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Движения в пространстве Тела вращения Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Расстояние от точки до плоскости Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью
Реальная математика
Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Комбинаторика Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Метод математической индукции Единицы измерения Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Ценные бумаги Множества Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Текстовые задачи на производительность Прикладные задачи
Уравнения
Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Квадратные уравнения Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Однородные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Системы и совокупности уравнений с одной переменной Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Многочлены Тригонометрический круг Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Свойства степеней

Задание 18

Необходимые умения

Задание 18— это завершающее задание в цепочке уравнений и неравенств

6 – 7 – 13 – 15 – 18.

Для его решения необходимы навыки решения неравенств, работы с графиками функций, а также умение работать с параметром.

Задание 18 может содержать общий вопрос – решите уравнение при всех значения параметра (в таком случае необходимо найти все возможные решения уравнения, в зависимости от значения параметра) и специальный вопрос – при каких значениях параметра уравнение/неравенство, например, имеет два корня. Намного чаще встречается второй тип вопроса.

Критерии оценивания

Критерии сильно зависят от задания. Например, для задания из демоверсии представлены следующие критерии оценивания:

Содержание критерия Баллы
Обоснованно получен верный ответ 4

С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но

– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;

– или решение недостаточно обосновано

 3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра 2

Задача сведена к исследованию:

– или взаимного расположения трёх окружностей;

– или двух квадратных уравнений с параметром

 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 4

Пример

При каких значениях параметра a корни уравнения

имеют одинаковые знаки?

Решение

Решим графически. Построим графики левой и правой части в плоскости XY.

Первое семейство:

y = |x – a2|

задает систему «уголков», стороны которых образуют углы в 45 градусов с осью абсцисс. Все вершины находятся на оси ОХ справа от начала координат, т. к. по правилам преобразований функций

x – a2 сдвигается вправо на положительное число a2.

Второе семейство

y = – a2 + 2a + 3

представляет собой множество прямых, параллельных оси абсцисс. Эти прямые должны пересекать «уголки» в точках, абсциссы которых имеют одинаковые знаки – именно эти точки и будут решениями уравнения.

Получаем следующий рисунок.

По рисунку определяем, что для выполнения поставленных условий прямые

y = – a2 + 2a + 3

должны быть выше оси Ох, но ниже точки пересечения графика функции\(\ \)y = |x – a2|

с Оу, иначе один из корней будет отрицательным. Точка пересечения функции с осью Оу это (0; a2).

Составим систему:

Изображение выглядит как текст Автоматически созданное описание

Для расстановки значений на числовой оси, сравним числа:

Изображение выглядит как текст Автоматически созданное описание

Получаем следующую числовую прямую.

Решение системы:

Ответ:

Изображение выглядит как текст Автоматически созданное описание