Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.
Задание 17
Необходимые умения
Задание 17 – это планиметрическая задача высокого уровня сложности. Для ее решения необходимо обладать всем школьным инструментарием решения задач: теория, дополнительные построения, умение доказывать предположения и др. Исходя из статистики решаемости, эта задача уже несколько лет входит в ТОП-3 самых сложных на ЕГЭ по математике.
Задание 17 представляет 2 пункта: в пункте а) требуется доказать некоторое утверждение, в пункте б) требуется найти определенное значение.
Критерии оценивания
| Содержание критерия | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
На основе данных критериев можно составить несколько возможных стратегий решения задания 17.
1. Стратегия прямого хода.
Последовательное решение сначала пункт а), затем пункт б).
2. Стратегия обратного хода.
Если не удалось решить пункт а) стоит попробовать решить пункт б) и получить за это 2 балла. Если удастся решить пункт б), можно еще раз вернуться к пункту а) и попробовать получить 3 балла.
3. Стратегия получения частичных баллов.
Два наиболее простых способа получить 1 частичный балл за это задание:
- решить только пункт а)
- решить только пункт б) с использованием утверждения пункта а) без доказательства.
Пример
Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй – в точке В. Прямая ВК пересекает первую окружность в точке D, прямая АК пересекает вторую окружность в точке С.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника АКВ, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Решение
а) 1.Пусть центр первой окружности О1, центр второй окружности – О2. Проведем касательную через точку К, она пересекает АВ в точке М. Тогда по теореме о касательных, проведенных из одной точки, получаем АМ = КМ, КМ = ВМ.
2. Рассмотрим треугольник АКВ. КМ – медиана, которая равна половине противоположной стороны, значит, угол АКВ – прямой.
3.
4. AD перпендикулярно АВ, СВ перпендикулярно АВ, значит, AD параллельно СВ ‒ Доказано.
б) 5. Рассмотрим треугольники
Пусть S – площадь треугольника ВКС, тогда 16S – площадь треугольника AKD.
6. Рассмотрим треугольники AKD и CKB. AK – общая высота, тогда:
Тогда:
SAKB = 4S, аналогично SCKD = 4S
7. Проведем высоту О2 Н.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
О2 НО1. О1О2 = 5, НО1 = АО1 – ВО2 = 4 – 1 = 4.
По теореме Пифагора О2 Н = 4.
Тогда:
Так же:
Значит:
Ответ: 3,2