Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.
Задание 14
Необходимые умения
Задание 14 – это стереометрическая задача. Теперь на экзамене учеников ждут два пункта для решения – чаще всего первый пункт на доказательство или на построение искомого объекта, во втором пункте просят что-то найти или посчитать. К тем знаниям, которые необходимы для решения задания 3 из цепочки стереометрии, добавляется знание теорем, касающихся нескольких тем: расстояние между объектами в пространстве и углы между объектами в пространстве. Также очень большую роль играет работа в пространстве – дополнительные построения, построения сечений, проекций и т. п.
Типы заданий
Задание 14 имеет конечное число конфигураций и типов задач в отличие от всех остальных заданий части с развернутым ответом. Конфигурации ограничиваются количеством фигур, которые могут встретиться вам в этих заданиях – призма, пирамида, шар, конус и их вариации. Типы заданий можно разделить в зависимости от искомого элемента:
1. задания на нахождение расстояния:
– между точками
– от точки до прямой
– от точки до плоскости
– между скрещивающимися прямыми
2. задания на нахождения угла:
– между скрещивающимися прямыми
– между прямой и плоскостью
– между плоскостями
3. задания на нахождение площади сечения
4. задания на нахождение объемов нестандартных фигур
Критерии оценивания
| Содержание критерия | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Обратите внимание, что за верное выполнение пункта а) вы можете получить уже 1 балл. Составители экзамена сделали это для того, чтобы упростить ученику решение – само разделение на подпункты подталкивает к правильному решению задачи.
Будьте внимательны к оформлению вашего решения. Многие учащиеся при решении геометрических задач делают ряд выводов в уме и не переносят их на бумагу. Это лишает их решение обоснованности для проверяющего и приводит к потере целого балла.
Пример
Дан равносторонний треугольник ABC со стороной 2.
В пространстве взята точка D такая, что
AD = BD = 2, CD = 1.
а) Докажите, что DH является высотой в пирамиде DABC.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.
Решение
1. Пусть M — середина AB. Проведём перпендикуляр DH на прямую CM.
2. Рассмотрим прямую АВ и плоскость MDC. Медиана CM является высотой треугольника ABC, имеем AB ⊥ CM. Аналогично в равностороннем треугольнике ABD, AB ⊥ DM. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что AB перпендикулярна плоскости MDC. Значит, AB перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости — в частности, прямой DH.
3. DH ⊥ CM (по построению) и DH ⊥ AB. Отсюда получаем DH – искомая высота.
На этом этапе мы получаем 1 балл за решение первого пункта.
4. Из прямоугольных треугольников BCM и BDM по теореме Пифагора находим: CM = DM = √3.
5. Рассмотрим треугольник DMC.
Запишем теорему косинусов для стороны DM.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник DHC.
