Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.
Задание 13
Необходимые умения
Задание 13 включает в себя два основных этапа: решение уравнения и отбор корней. Уравнение может быть тригонометрическим, логарифмическим, показательным, иррациональным или комбинацией нескольких типов.
Критерии оценивания
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Таким образом, ваше решение должно состоять из двух частей, и после каждой части должен быть записан ответ.
Обратите внимание на то, что отбор корней считается обоснованным, если записан процесс отбора, т.е. само решение. Для графического способа отбора должен присутствовать график, на котором будет обозначен определенный интервал и решения. Для отбора через тригонометрический круг необходимо отметить начало и конец промежутка на круге, выделить дугу, отметить корни. Для отбора через неравенства должен быть записан ход решения неравенств.
Пример
а) Решить уравнение:
\(\cos^{2}2x + \sin^{2}x = \cos^{2}3x\)
б) Укажите корни, принадлежащие промежутку
\(\left\lbrack \frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2} \right\rbrack\)
Решение
Решение пункта а)
У всех функций разные аргументы, но они стоят в четной степени, значит, мы можем применить формулу понижения степени.
Преобразуем уравнение
\(\cos^{2}2x = \cos^{2}3x\ ‒\sin^{2}x\)
Применим формулу понижения степени
\(\cos^{2}2x = \frac{1 + cos\ 6x}{2}‒\frac{1\ ‒cos2x}{2}\)
Запишем в одну дробь и приведем подобные
\(\cos^{2}2x = \frac{cos\ 6x + cos\ 2x}{2}\)
Применим формулу суммы
\(\cos^{2}2x = cos\ 4x\ cos\ 2x\)
\(\cos^{2}2x\ ‒cos\ 4x\ cos\ 2x = 0\)
Вынесем за скобку \(cos\ 2x\)
\(cos\ 2x(cos\ 2x\ ‒cos\ 4x) = 0\)
Для выражения в скобке применим формулу разности
\(2\ cos\ 2x\ sin\ 3x\ sin\ x = 0\)
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений, которые мы уже умеем решать после просмотра вебинара в нашем онлайн-модуле:
\(cos\ 2x = 0;\ sin\ 3x\ = 0;\ sin\ x = 0\)
Решим первое уравнение:
\(cos\ 2x = 0\)
\(2x = \frac{\pi}{2} + \pi n,n\ \epsilon\ Z\)
\(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n,n\ \epsilon\ Z\)
Решим второе уравнение:
\(sin\ 3x = 0\)
\(3x = \ \pi n,n\ \epsilon\ Z\)
\(x = \frac{\pi}{3}n,n\ \epsilon\ Z\)
Решим третье уравнение
\(sin\ x = 0\)
\(x = \pi n,n\ \epsilon\ Z\)
Можем заметить, что решения второго уравнения включают в себя решения третьего уравнения.
Ответ на пункт а)
\(x_{1} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n,n\ \epsilon\ Z,\ x_{2} = \frac{\pi}{3}n,n\ \epsilon\ Z\ \)
Решение пункта б)
Отметим все решения на тригонометрическом круге и выделим промежуток
\(\left\lbrack \frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2} \right\rbrack\)
Из совокупности решений
\(x_{1} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n,n\ \epsilon\ Z\)
данному промежутку соответствуют корни:
\(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4},\ 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4},\ 2\pi\)
Из совокупности решений
\(x_{2} = \frac{\pi}{3}n,n\ \epsilon\ Z\)
данному промежутку соответствуют корни:
\(2\pi‒\frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3},2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}\ \)
Решение пункта б)
\(\frac{7\pi}{4}\ ,\ \frac{9\pi}{4},2\pi,\ \frac{5\pi}{3},\frac{7\pi}{3}\ \)
Ответ:
а)
\(x_{1} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n,n\ \epsilon\ Z,\ x_{2} = \frac{\pi}{3}n,n\ \epsilon\ Z\)
б)
\(\frac{7\pi}{4}\ ,\ \frac{9\pi}{4},2\pi,\ \frac{5\pi}{3},\frac{7\pi}{3}\ \)