Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.
Задание 28
Формат задания
Задание высокого уровня сложности с записью ответа в виде числа или в буквенной форме. Максимальный первичный балл за задание – 3 балла.
На позиции 28 экзамена могут встретиться геометрическая оптика или электрические цепи. В том случае, если встречается геометрическая оптика, рисунок – часть решения задачи, который оценивается в 1 первичный балл. То есть без него за верно решенную задачу можно получить максимум 2 балла, а только рисунок без решения задачи принесет уже 1 балл. Важно, чтобы рисунок выдерживал масштаб, на него были вынесены все данные в условии и необходимые для решения величины, показан ход лучей и построено изображение предмета (в случае для задач на линзы).
Ответ должен:
-
Быть целым числом или записываться в буквенном виде, где каждая используемая буква либо дана в условии, либо является табличным значением;
-
Отвечать на поставленный вопрос;
-
Соответствовать заявленным единицам измерения.
Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC расположен перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 40 см так, что его катет АС лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла С лежит дальше от центра линзы, чем вершина острого угла А, расстояние от центра линзы до точки А равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, АС = 5 см. Найдите площадь изображения, которое получается при прохождении через линзу.
Решение
Для начала построим изображение предмета, используя два замечательных луча, а также помня, что предмет находящийся в двойном фокусе будет давать изображение, расположенное также в двойном фокусе:
Получившийся треугольник оказывается прямоугольным. Поэтому для нахождения его площади нужно найти его катеты.
Найдем величину катета А'С'. Для этого запишем формулу тонкой линзы для точки С:
\(\frac{1}{2F + a} + \frac{1}{OC'} = \frac{1}{F}\)
где \(a\) – катет исходного треугольника.
Выразим и найдем величину \(\text{OC}'\):
\(\frac{1}{OC^{'}} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2F + a}\)
\(\frac{1}{OC^{'}} = \frac{2F + a - F}{F\left( 2F + a \right)} = \frac{F + a}{F(2F + a)}\)
Следовательно расстояние \(OC^{'}\)будет равно:
\(OC^{'} = \frac{F(2F + a)}{F + a}\)
Тогда величина искомого катета будет равна:
\(A^{'}C^{'} = 2F - OC^{'}\)
\(A^{'}C^{'} = \frac{2F\left( F + a \right) - F\left( 2F + a \right)}{F + a} = \frac{\text{Fa}}{F + a}\)
Другой катет может быть найден из подобия треугольников. Сделаем пояснительный рисунок:
Из рисунка видно, что:
\(B^{'}C^{'} = BC \bullet \frac{OC^{'}}{\text{OC}}\)
\(B^{'}C^{'} = a \bullet \frac{F\left( 2F + a \right)}{F + a}:\left( 2F + a \right) = \frac{\text{Fa}}{F + a}\)
Отсюда видно, что изображение равнобедренного треугольника вновь получается равнобедренным треугольником. Его площадь можно найти по формуле:
\(S = \frac{1}{2} \cdot A^{'}C^{'} \cdot B^{'}C^{'} = \frac{1}{2} \cdot \left( B^{'}C^{'} \right)^{2}\)
\(S = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\text{Fa}}{F + a} \right)^{2} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{40\ см \cdot 5\ см}{40\ см + 5\ см} \right)^{2} \approx 9,9\ см^{2}\)
Ответ: \(\approx 9,9\ см^{2}\)
Напряжение на батарее из двух последовательно включенных конденсаторов электроемкостью 20 и 30 мкФ равно 1 кВ. После этого между обкладок первого конденсатора вставляют диэлектрическую пластину с проницаемостью 2,1, а между обкладок второго – пластину с проницаемостью 3,6. Чему равна отношение разности напряжений \(\frac{\mathrm{\Delta}U_{2}}{\mathrm{\Delta}U_{1}}\) на первом и втором конденсаторе во втором и в первом случаях?
Решение
Сделаем схематичный рисунок:
В последовательном соединении заряды одинаковы:
\(q_{1} = q_{2}\)
Распишем заряды через емкости и напряжения:
\(C_{1}U_{1} = C_{2}U_{2}\)
Откуда:
\(U_{2} = U_{1}\frac{C_{1}}{C_{2}}\)
Напряжение в последовательном соединении найдем как сумму напряжений:
\(U = U_{1} + U_{2} = U_{1} + U_{1}\frac{C_{1}}{C_{2}} = U_{1}\frac{C_{1} + C_{2}}{C_{2}}\)
Откуда:
\(U_{1} = \frac{UC_{2}}{C_{1} + C_{2}}\)
Тогда найдем напряжение на втором конденсаторе:
\(U_{2} = \frac{UC_{2}}{C_{1} + C_{2}} \bullet \frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{UC_{1}}{C_{1} + C_{2}}\)
Значит разность напряжений равна:
\(\mathrm{\Delta}U_{1} = U_{1} - U_{2} = \frac{UC_{2}}{C_{1} + C_{2}} - \frac{UC_{1}}{C_{1} + C_{2}} = \frac{U{{(C}_{2} - C}_{1})}{C_{1} + C_{2}}\)
Эту формулу можно использовать и для конечной ситуации, если учесть новые емкости. Емкость зависит от диэлектрической проницаемости по формуле:
\(C = \frac{\varepsilon\varepsilon_{0}S}{d}\)
В начале опыта был воздух (проницаемость равна 1), а в конце – в каждом конденсаторе стала больше в \(\varepsilon_{1}\) и \(\varepsilon_{2}\) раза соответственно. Тогда:
\(\mathrm{\Delta}U_{2} = U_{1}' - U_{2}' = \frac{U{{(\varepsilon_{2}C}_{2} - \varepsilon_{1}C}_{1})}{{\varepsilon_{1}C}_{1} + \varepsilon_{2}C_{2}}\)
Сделаем замену согласно данным условию:
\(C_{2} = 1,5C_{1}\)
Тогда упростим выражение и подставим числа:
\(\frac{\mathrm{\Delta}U_{2}}{\mathrm{\Delta}U_{1}} = \frac{\frac{U{{(\varepsilon_{2}C}_{2} - \varepsilon_{1}C}_{1})}{{\varepsilon_{1}C}_{1} + \varepsilon_{2}C_{2}}}{\frac{U{{(C}_{2} - C}_{1})}{C_{1} + C_{2}}} = \frac{{{(\varepsilon_{2}1,5C}_{1} - \varepsilon_{1}C}_{1}) \bullet (C_{1} + 1,5C_{1})}{({\varepsilon_{1}C}_{1} + \varepsilon_{2}{1,5C}_{1}) \bullet {(1,5C_{1} - C}_{1})} = \frac{({1,5\varepsilon}_{2} - \varepsilon_{1}) \bullet 2,5}{({1,5\varepsilon}_{2} + \varepsilon_{1}) \bullet 0,5} = 2.2\)
Ответ: 2,2