Делимость

Делимость

Если числа $a$ делится на b, то пишут $a \vdots b$.

Например,

$95 \vdots 5$, так как $95 = 5 \bullet 19$

СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ

1. Если a делится на b, то для любого числа k число ka делится на b.

$a \vdots b \rightarrow ak \vdots b$

2. Если a делится на c и b делится на c, то сумма, разность и произведение чисел a и b делится на c.

$\ \left\{ \begin{matrix} a \vdots c \\ b \vdots c \\ \end{matrix} \rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left( a + b \right) \vdots c \\ \left( a - b \right) \vdots c \\ (a \bullet b) \vdots c \\ \end{matrix} \right.\ \right.\$

3. Если a делится на b и b делится на c, то a делится на c.

$\left\{ \begin{matrix} a \vdots b \\ b \vdots c \\ \end{matrix} \rightarrow \right.\ a \vdots c$

4. Если a делится на b и c делится на d, то ac делится на bd.

$\left\{ \begin{matrix} a \vdots b \\ c \vdots d \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow ac \vdots bd$

ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Например,

Число 17 простое. Делители $17:\ 1,\ 17$.

Число 9 составное. Делители $9:\ 1,\ 3,\ 9$.

Единица не является ни простым, ни составным числом.

Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

• Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 2 (последняя цифра – четная).

• Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 4.

• Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры числа делятся на 8.

• Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3.

• Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.

• Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).

• Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 25.

• Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.

$123456789$ делится на 3, так как $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$, а 45 делится на 3.

1452 делится на 11, так как $(1 + 5)\ –\ (4 + 2)$ делится на 11.

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

Пусть $a\ и\ b \neq 0$ – два целых числа. Разделить число a на число b с остатком – это значит найти такие числа c и d, что выполнены следующие условия:

$\left\{ \begin{matrix} a = \text{bc} + d \\ 0 \leq d < |b| \\ \end{matrix} \right.\$

От деления на b могут быть только остатки$:\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\ldots,\ |b| - 1$.

$19\ :\ 7\ = \ 2\ (ост.\ 5)$

$19\ = \ 7\ \bullet \ 2\ + \ 5\$

$22\ :\ ( - 3)\ = \ - 7\ (ост.\ 1).$

$22\ = \ - 3\ \bullet \ ( - 7)\ + \ 1$

$- 22\ :\ 3\ = \ - 8\ (ост.\ 2)$

$- 22\ = \ 3\ \bullet \ ( - 8)\ + \ 2$

ТЕОРЕМЫ

1. Сумма чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и сумма остатков чисел a и b при делении на число m.

Например,

$\left\{ \begin{matrix} 15:2 = 7\left( ост.\ 1 \right) \\ 16:2 = 8(ост.\ 0) \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow \left( 15 + 16 \right):2 = 15\left( ост.\ \mathbf{1} \right)\text{\ \ \ \ \ }\left( 1 + 0 \right):2 = 0(ост.\ \mathbf{1})$

2. Произведение чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и произведение остатков чисел a и b при делении на число m.

Например,

$\left\{ \begin{matrix} 13:3 = 4\left( ост.\ 1 \right) \\ 20:3 = 6(ост.\ 2) \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow \left( 13 \bullet 20 \right):3 = 86\left( ост.\ \mathbf{2} \right)\text{\ \ \ \ \ }\left( 1 \bullet 2 \right):3 = 0(ост.\ \mathbf{2})$