Многоугольники

Многоугольник – это геометрическая фигуру, образованная ограниченной ломаной. Каждый многоугольник имеет вершины, стороны, внутренние и внешние углы.

n - угольник – это многоугольник, в котором n вершин, n сторон и n углов. При этом \(n \geq\)3.

Многоугольник с наименьшим количеством углов, вершин и сторон является треугольник.

Каждый многоугольник характеризуется площадью и периметром.

Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника.

Площадь для различных n - угольников рассчитывается по-разному, в зависимости от n.

ВЫПУКЛЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Выпуклый многоугольник – это многоугольник, который полностью лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей между его соседними вершинами.

Другими словами, у выпуклого многоугольника любой внутренний угол меньше 180⁰.

Например, пятиугольник \(А_{1}А_{2}А_{3}А_{4}А_{5}\) – выпуклый, а четырехугольник \(В_{1}В_{2}В_{3}В_{4}\) – невыпуклый или вогнутый:

Далее речь будет идти именно о выпуклых многоугольниках.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна \((n\ –\ 2) \bullet 180{^\circ}\)

Диагональ – это отрезок между двумя не соседними вершинами многоугольника.

Количество диагоналей в n-угольнике равно

\(\frac{n(n\ –\ 3)}{2}\)

Таким образом треугольники не имеют диагоналей, т.к. каждая вершина является соседней всем остальным.

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Правильный многоугольник – это многоугольник, стороны и углы которых равны между собой.

В таком случае каждый угол правильного многоугольника будет равен:

\(\frac{(n\ –\ 2) \bullet 180{^\circ}}{n}\)

Так же диагонали правильного многоугольника равны.

Периметр правильного n-угольника:

\(P = a \bullet n\)

где a – длина его стороны.

Примерами правильных многоугольников служат правильный треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т. д.

УГЛЫ, ВЫСОТЫ И ПЛОЩАДИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ:

1. Правильный треугольник:

Все углы правильного треугольника равны по 60⁰

Высота правильного треугольника равна:

\(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Тогда площадь правильного треугольника через его высоту:

\(S = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\)

2. Правильный четырёхугольник:

Все углы квадрата равны по 90⁰

Высота квадрата (правильного четырёхугольника) равна его стороне:

\(h = a\)

Тогда его площадь равна:

\(S = a^{2}\)

3. Правильный шестиугольник:

Все углы правильного шестиугольника равны по 120⁰

Правильный шестиугольник можно представить как шесть одинаковых правильных треугольников. Тогда высота шестиугольника будет равна двум высотам этого треугольника:

\(h = a\sqrt{3}\)