Координатная прямая

Координатная прямая – это прямая, имеющая направление, начало отсчета и заданный масштаб.

Начало координат соответствует координате $= 0$ , а положительное направление указано стрелочкой.

Единичный отрезок – это расстояние между соседними делениями на координатной прямой. Единичный отрезок показывает масштаб координатной прямой.

ТОЧКА НА КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ:

Любая точка, соответствующая числу на координатной прямой, имеет координату, равную этому числу.

Например:

Точка А соответствует числу 2. В таком случае говорят, что существует точка А с координатой 2 или записывают её как А(2). Если точка не обозначается буквой, можно сказать, что существует точка 2.

На координатной прямой можно отмечать не только целые числа, но и дробные.

Например:

Теперь координата точки В $\left( - \frac{3}{4} \right)$ дробная и отрицательная:

С помощью координатной прямой удобно сравнивать числа. Любое число справа будет больше, чем число слева.

ПРОМЕЖУТКИ НА КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ:

На координатной прямой можно отмечать сразу совокупность точек, входящие в тот или иной промежуток.

Числовой промежуток – это множества чисел, обозначенные на координатной прямой с помощью луча, интервала или отрезка.

Луч – это открытый числовой промежуток с помощью которого обозначается множество чисел больше или меньше какого-то числа.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения $x > 2$ :

Само число 2 не может быть больше себя же, поэтому точка, которой отмечается эта координата остается пустой или выколотой. Такой точке соответствует круглая скобка.

Таким образом любое число на закрашенной области соответствует заданному неравенству, а обозначить его можно как

$x \in (2; + \infty)$

Закрытый луч – это луч на координатной прямой, точка начала которого входит в заданный промежуток

Например:

Отметим на координатной прямой все значения $x \leq 2$ :

Число 2 равно самому себе, поэтому точка 2 входит в заданный промежуток. Такая точка закрашивается и называется вколотой. Такой точке соответствует квадратная скобка. Промежуток обозначается как

$x \in (–\infty;\left. \ 2 \right\rbrack$ .

Отрезок – числовой промежуток, который имеют ограничения с двух сторон, при этом точки, ограничивающие отрезок, в него входят.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения $- 3 \leq x \leq 1$ :

Точки -3 и 1 входят в этот промежуток и являются вколотыми. Все числа, обозначенные на координатной прямой, удовлетворяют неравенству. Такой промежуток обозначается как

$x \in \left\lbrack - 3;1 \right\rbrack$

Интервал – числовой промежуток, который имеют ограничения с двух сторон. Разница с отрезком заключается в том, что граничные точки НЕ входят в интервал. В интервал входит все, что между этими точками.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения $- 3 < x < 1$ :

Поменялись только точки, но описывается уже совсем другая математическая ситуация.

$x \in ( - 3;1)$

Полуинтервал – числовой промежуток, одна граница которого в него входит, а вторая нет. При чем не важно с какой стороны находится пустая точка.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения $0 < x \leq 2$ :

Точки такого полуинтервала будут вколоты и выколоты в соответствии с условием: 0 не входит в полуинтервал – точка выколота, 2 – входит в интервал – точка вколота. Тогда полуинтервал записывается так:

$x \in (0;\left. \ 2 \right\rbrack$