Буквенные выражения

Буквенные выражения

Буквенные выражения встречаются во многих формулировках. Различные выражения можно представить в виде букв и затем применять их для действий с числами. Также многие алгоритмы записаны с помощью буквенных выражений.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ

1. Переместительное свойство сложения – два числа можно складывать в любом порядке, то есть от перемены мест слагаемых сумма не меняется:

$a + b = b + a$

2. Сочетательное свойство сложения – при сложении трех чисел можно группировать как первые два слагаемых, так и последние два:

$\left( a + b \right) + c = a + \left( b + c \right) = a + b + c$

3. Переместительное свойство умножения – от перемены мест множителей произведение не меняется:

$ab = ba$

4. Сочетательное свойство умножения – при умножении трех чисел можно группировать как первые два множителя, так и последние два:

$\left( \text{ab} \right)c = a\left( \text{bc} \right) = abc$

5. Распределительное свойство – при умножении суммы на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число. Аналогично, для разности чисел:

$a\left( b + c \right) = ab + ac$

$a\left( b - c \right) = ab - ac$

Чтобы умножить число 25 на 13, можно умножить 25 на сумму $10 + 3$.

Решение:

Запишем эти рассуждения с помощью цепочки равенств:

$25 \bullet 13 = 25 \bullet \left( 10 + 3 \right) = 25 \bullet 10 + 25 \bullet 3 = 250 + 75 = 325$

Ответ: 325.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЯ

Исходное и преобразованное выражения будут называться тождественно равными или просто равными.

Правила преобразования буквенных выражений

1. В любой сумме слагаемые можно как угодно переставлять и объединять в группы произвольным образом.

Например, выражение $\left( a + 11 \right) + \left( c - d + b \right)$ можно записать в виде $\left( a + 11 \right) + \left( b - d \right) + c$

Например,

Упростим выражение $2a + 3b + a - 5b + с$

Решение:

Данное выражение – сумма, состоящая из пяти слагаемых: $2a,3b,a\ ,\ –5b\ и\ c$

Поменяем местами слагаемые в этой сумме:

$2a + 3b + a - 5b + c = 2a + a + 3b + \left( - 5b \right) + c$

Сгруппируем два слагаемых содержащих а и два слагаемых, содержащих $b$:

$2a + a + 3b + \left( - 5b \right) + c = \left( 2a + a \right) + \left( 3b + \left( - 5b \right) \right) + c$

Выполним математические преобразования:

$\left( 2a + a \right) + \left( 3b + \left( - 5b \right) \right) + c = 3a - 2b + c$

2. В любом произведении множители можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в группы.

Например,

Упростим произведение$\ 7a \bullet 3b$

Решение:

Посчитаем отдельно числа, а буквенные множители сгруппируем. Вначале запишем вначале произведение числовых множителей, а затем буквенные множители:

$7a \bullet 3b = 7 \bullet 3 \bullet ab = 21ab$

Число, умноженное на буквенный множитель, называют коэффициентом этого произведения. Так в выражении $21\text{ab}$, числовой множитель 21 является коэффициентом.

Коэффициент равный 1 обычно не пишут, а вместо $- 1$ обычно оставляют просто «-». Например, $\left( - 1 \right) \bullet x = - x$

РАСКРЫТИЕ СКОБОК

Из буквенных выражений с помощью знаков действий и скобок можно составить другое буквенное выражение. Например, рассмотри два выражения $5a\ и\ 4b - 1$. Тогда

$5a + (\ 4b - 1)$ – сумма выражений $5a\ и\ 4b - 1$,

$5a - (\ 4b - 1)$ – разность выражений $5a\ и\ 4b - 1$,

$5a(\ 4b - 1)$ – произведение выражений $5a\ и\ 4b - 1$.

Правила раскрытия скобок:

1. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак $« + »\$необходимо просто переписать выражение с сохранением всех знаков перед слагаемыми (можно просто убрать скобки):

$5a + (\ 4b - 1) = 5a + 4b - 1$

2. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» необходимо поменять у каждого слагаемого внутри скобок знак на противоположный:

$5a - \left( \ 4b - 1 \right) = 5a + \left( \left( - 1 \right) \bullet \left( 4b - 1 \right) \right) = 5a + \left( - 4b + 1 \right) = 5a - 4b + 1$

3. Чтобы умножить выражение на скобку, необходимо каждое слагаемое внутри скобки умножить на выражение, стоящее перед скобкой и результат сложить:

$5a(\ 4b - 1) = 5a\left( 4b + \left( - 1 \right) \right) = 5a \bullet 4b + 5a \bullet \left( - 1 \right) = 20ab + \left( - 5a \right) = 20ab - 5a$

ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ СЛАГАЕМЫХ

Приведение подобных слагаемых – это группировка и сложение подобных слагаемых с целью упрощения буквенного выражения.

Алгоритм приведения подобных слагаемых:

- выделить и сгруппировать подобные слагаемые в выражении;

- сложить коэффициенты выделенных подобных слагаемых;

- умножить полученную сумму на их общую буквенную часть.

Упростить выражение $5x + 9y + 3y - 11x$.

Решение:

У слагаемых $5x$, $- 11x$ и одна и та же буквенная часть x, следовательно, они являются подобными. Аналогично для$\ 9y$, $3y$ общая буквенная часть y.

Сгруппируем эти слагаемые:

$\mathbf{5}\mathbf{x} + 9y + 3y\mathbf{- 11}\mathbf{x} = \left( \mathbf{5}\mathbf{x}\mathbf{- 11}\mathbf{x} \right) + \left( 9y + 3y \right)$

Сложим коэффициенты подобных слагаемых в каждой скобке:

$\left( \mathbf{5}\mathbf{x - 11}\mathbf{x} \right) + \left( 9y + 3y \right) = \mathbf{- 6}\mathbf{x} + 12y$