Матрицы

Матрицы

Обозначения матрицы:

\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{\text{mn}} \\ \end{pmatrix}\) или \(A = \left( a_{\text{ij}} \right)_{m \times n},\ \left( i = \overline{1,m};j = \overline{1,n} \right)\)

где a_ij — элементы матрицы; i — номер строки; j — номер столбца; \(m \times n\) — размер матрицы.

Если m=n, то матрица называется квадратной, а число m=n — ее порядком.

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ a₁₁a₂₂a₃₃…a_mn.

Виды матриц

1. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Например,

\(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}\) — диагональная матрица 3-го порядка.

2. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е или I.

Например,

\(E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\) — единичная матрица 3-го порядка.

3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О.

4. Квадратная матрица называется верхней треугольной, если все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.

Например,

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{pmatrix}\) — верхняя треугольная матрица.

5. Квадратная матрица называется нижней треугольной, если все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю.

Например,

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix}\) — нижняя треугольная матрица.

6. Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (вектор-столбцом или вектор-строкой соответственно).

Например,

\(A = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \ldots \\ a_{m} \\ \end{pmatrix}\ ,\ B = \begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} & \ldots & b_{n} \\ \end{pmatrix}.\)

Элементарные преобразования матриц

К элементарным преобразованиям матриц относят:

1. Перемена местами двух строк или столбцов;

2. Умножение строки или столбца на число, отличное от 0;

3. Добавление к одной строке или одному столбцу другой строки или столбца, умноженных на произвольное число.

Действия с матрицами

1. Транспонирование.

При транспонировании строки и столбцы матрицы меняются местами.

2. Сложение матриц.

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы. Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Складывать и вычитать можно только матрицы одного размера.

3. Умножение матрицы на число.

Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число.

4. Умножение матриц.

Чтобы матрицу А можно было умножить на матрицу В нужно, чтобы число столбцов матрицы А равнялось числу строк матрицы B.

Правило перемножения матриц удобнее рассмотреть на конкретном примере.