Теория рядов

Ряды

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида

\(\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} + \ldots}\)

В общем виде числовой ряд можно записать так:\(\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\) .

Здесь:

\(a_{n}\) – общий член ряда;

\(n\) – переменная-«счётчик».

Запись \(\sum_{n = 1}^{\infty}1\)обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас \(n = 1\), затем \(n = 2\), потом \(n = 3\), и так далее – до бесконечности. Вместо переменной \(n\) иногда используется переменная \(k\ или\ m\) . Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля \(\sum_{n = 0}^{\infty}1\), с двойки \(\sum_{n = 2}^{\infty}1\)либо с любого натурального числа.

\(\sum_{n}^{\infty}{a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + \ldots}\)

и так далее, до бесконечности.

Слагаемые \(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\ldots\) – это ЧИСЛА, которые называются членами ряда. Если все они неотрицательны (больше либо равны нулю), то такой ряд называют положительным числовым рядом.

Сумму первых n членов числового ряда обозначают через \(S_{n}\) и называют \(n\)-ой частичной суммой ряда\(\ S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{n}\).

Сходимость числовых рядов

1. Ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\) расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: \(a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + \ldots = \infty\) либо суммы вообще не существует, как, например, у ряда \(\sum_{n = 1}^{\infty}{\left( - 1 \right)^{n} = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots}\) .

Хороший образец расходящегося числового ряда:\(\ \)

\(\sum_{n = 1}^{\infty}{\left( 2n + 1 \right) = 3 + 5 + 7\ldots}\)

Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда больше, чем предыдущий, поэтому \(3 + 5 + 7\ldots = \infty\) и, значит, ряд расходится. Еще пример:

\(\sum_{n = 1}^{\infty}{1^{n} = 1 + 1 + 1 + \ldots}\)

2. Ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\)сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу \(S\): \(a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + \ldots = S\).

\(\sum_{n = 1}^{\infty}{0^{n} = 0 + 0 + 0 + \ldots} = 0\)

Этот ряд сходится и его сумма равна нулю.

Следующий пример – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, известная нам ещё со школы:

\(\sum_{n = 0}^{\infty}{\frac{1}{4^{n}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \ldots}\)

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:\(\ S\frac{A}{1 - q}\) , где \(A\) – первый член прогрессии, а \(q\) – её основание, которое, как правило, записывают в виде правильной дроби.

В данном случае: \(A = 1\), \(q = \frac{1}{4}\) . Таким образом: \(S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \ldots = \frac{1}{1 - 4} = \frac{\frac{1}{3}}{4} = \frac{4}{3}\)

Получено конечное число, значит, ряд \(\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}\ \)сходится, что и требовалось доказать.

Необходимый признак сходимости ряда

Необходимый признак сходимости числовых рядов: общий член сходящегося ряда стремится к нулю.

Если ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\text{\ \ }сходится\), то \(\lim_{n \rightarrow \infty}{a_{n} = 0}\)

• Если \(\lim_{n \rightarrow \infty}{a_{n} = 0}\), то ряд может сходиться.
• Если же \(\lim_{n \rightarrow \infty}{a_{n} \neq 0}\) (или же предела не существует), то ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\) расходится.

Исходя из необходимого условия сходимости ряда можно сформулировать достаточный признак расходимости числового ряда:

Если \(\lim_{n \rightarrow \infty}{a_{n} \neq 0}\), то ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\) расходится.

С помощью необходимого признака нельзя доказать сходимость ряда. Этот признак используют, когда нужно доказать, что ряд расходится.

Пример:

\(\sum_{n = 1}^{\infty}\left( 2n + 1 \right) \)

\(\lim_{n \rightarrow \infty}{a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\left( 2n + 1 \right) = \infty} \neq 0}\) \( \)Вывод: ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty}\left( 2n + 1 \right)\) расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Если общий член ряда СТРЕМИТСЯ к нулю, то нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости / расходимости.

Признак Даламбера

Рассмотрим положительный числовой ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\).

Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: \(\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = D\), то:

• При \(D < 1\) ряд сходится. В частности, ряд сходится при \(D = 0\).
• При \(D > 1\) ряд расходится. В частности, ряд расходится при \(D = \infty\).
• При \(D = 1\) признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.

Радикальный признак Коши

Рассмотрим положительный числовой ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\). Если существует предел: \(\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_{n}} = D\), то:

• При \(D < 1\) ряд сходится. В частности, ряд сходится при \(D = 0\).
• При \(D > 1\) ряд расходится. В частности, ряд расходится при \(D = \infty\).
• При \(D = 1\) признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.

Интегральный признак Коши

Интегральный признак Коши-Маклорена используется для исследования сходимости рядов вида \(\sum_{n = 1}^{\infty}{f(n)}\), где функция \(f(x)\) определена, непрерывна и монотонно убывает при \(x \geq 1\).

Если функция \(f(x)\), определённая при всех \(x \geq 1\), неотрицательна (т.е. \(f(x) \geq 0\)) и убывает при \(x \geq 1\), то ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty}{f(n)}\) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом \(\int_{1}^{\infty}{f\left( x \right)\text{dx}}\).

Отметим, что

• если \(p > 1\), то ряд \(\sum_{n = n_{0}}^{\infty}\frac{1}{n \bullet \ln^{p}n}\), будет сходиться;
• если \(p \leq 1\), то ряд\(\sum_{n = n_{0}}^{\infty}\frac{1}{n \bullet \ln^{p}n}\) расходится.