Задачи на страхование

Введение в текстовые задачи

Текстовая задача состоит из условия, в котором описана некоторая ситуация, и вопроса, на который нужно дать ответ.

Решение любой текстовой задачи можно разделить на несколько основных этапов:

• Работа с условием
• Составление математической модели
• Проверка ответа

РАБОТА С УСЛОВИЕМ

Для облегчения работы с условием полезно использовать иллюстрацию или моделирование. Это может быть краткая запись условия математически или словесно. Также это может быть дополнительный рисунок или таблица.

Петя выше Коли, Сережа ниже Коли. Кто выше?

Иллюстрация:

Из рисунка сразу понятен ответ: Петя выше всех.

Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость одного из них 45 км/ч, скорость другого — 55 км/ч. Сейчас между ними 200 км. Через сколько часов они встретятся?

Иллюстрация:

Пусть \(x\) часов – время движения обоих поездов, тогда по рисунку видно, что первый проедет \(45x\) км, а второй - \(55x\) км.

Составим математическую модель:

\(45x + 55x = 200\)

\(100x = 200\)

\(x = 2\ ч\)

Ответ: 2 ч.

Для составления уравнения по условию задачи используются различные приемы, в зависимости от данной в условии зависимости величин.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Математика, в частности, занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке.

В таблице приведены различные ситуации и их математические модели.

\(x\) - число девочек

\(y\) - число мальчиков

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Такая зависимость выражается в словах: выше/ниже, больше/меньше, дороже/дешевле, длиннее/короче и т. д.

При составлении уравнения особое значение играют используемые предлоги: «в» и «на».

Первое число \(a\), второе число в 1,5 раза больше первого. Если к первому прибавить 5, а из второго вычесть 13, то получатся одинаковые результаты.

Решение: Если первое число \(a\), то второе \(1,5a\).

Прибавим к первому 5, получаем \(a + 5\)

Вычтем из второго 13, получаем \(1,5a - 13\)

А теперь приравняем : \(a + 5 = 1,5a - 13\)

В одном доме живет на 20 человек больше, чем в соседнем. Сколько человек живет в каждом доме, если в двух домах живет 180 человек.

Решение: Пусть \(x\) человек –проживает в первом доме, тогда в соседнем \(x - 20\) человек.

Теперь составим уравнение, сложив количество человек в каждом доме:

\(x + x - 20 = 180\)

\(2x = 200\)

\(x = 100\) – в первом доме

Получается, что в соседнем доме \(180 - 100 = 80\) человек

Петя выше Коли на 20 см, Сережа ниже Коли на 10 см. На сколько см Петя выше Сережи?

Решение: Пусть П – рост Пети, К – рост Коли, С – рост Сережи.

Кстати, обратите внимание на этот приём – выбирать «говорящие» переменные, а не безликие иксы и игреки, чтобы не запутаться при работе с уравнением.

Выразим рост мальчиков.

Петя выше Коли на 20 см: \(П–20 = К\)

Сережа ниже Коли на 10 см: \(К = С + 10\)

Подставим в первое уравнение рост Коли: \(П–20 = С + 10\)

Нам нужно найти, на сколько см Петя выше Сережи: \(П–С\)

\(П–20 = С + 10\)

\(П–С = 20 + 10\)

\(П–С = 30\)

Получаем, что Петя выше Сережи на 30 см.

На уроке труда ученики делали снежинки. Всего было сделано 12 снежинок. Маша сделала в два раза больше снежинок, чем Коля. Коля сделал на 4 снежинки меньше, чем Рома. Сколько снежинок сделала Маша?

Решение:

Пусть М – количество снежинок, которое сделала Маша, К – снежинки Коли, Р – снежинки Ромы.

Маша сделала в два раза больше снежинок, чем Коля: \(К = \frac{М}{2}\)

Коля сделал на 4 снежинки меньше, чем Рома: \(Р = К + 4 = \frac{М}{2} + 4\)

Вместе ребята сделали 12 снежинок: \(М + К + Р = 12\)

Подставим все выраженные через М значения: \(М + \frac{М}{2} + \frac{М}{2} + 4 = 12\)

\(М = 4.\)

Маша сделала 4 снежинки.

ПЕРЕХОД ОТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ К СЛОВЕСНОЙ

Также существует обратный процесс – переход от математической модели к словесной. Например, дано уравнение и по нему нужно составить словесную модель.

Составить словесную модель по данной математической модели \(a = 3b\)

Решение: Определяем зависимости величин – \(a\) больше \(b\) в 3 раза.

Составим словесную модель: На обед слону в зоопарке требуется \(\mathbf{a}\) кг корма, \(a\) ослику \(\mathbf{b}\mathbf{\ }\)кг. Причем на слона уходит ровно в 3 раза больше корма.

Составить задачу по данной математической модели \(x = \frac{y - 5}{2}\)

Решение: Составим задачу, учитывая зависимость между величинами: «Задумали два числа. Если из второго вычесть 5 и затем эту разность уменьшить в 2 раза, то получится первое число».

Таким образом, можно составить абсолютно любую словесную модель. Здесь играет роль правильное понимание соотношений между величинами и фантазия.

Также текстовые задачи могут быть посвящены прогрессиям, производительности и темпу.

Единицы измерения

ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ:

• 1 час = 60 минут
• 1 минута = 60 секунд

Чтобы перевести время из первой величины во вторую:

1. Найдем строчку первой величины.

2. На ней найдем столбик второй величины.

3. Ячейка их пересечения в таблице показывает, на сколько нужно умножить первую величину, чтобы получить вторую.

1. Переведем 1 час в минуту. Видим, что час равен 60 минутам.

Переведем 60 минут в секунды. Видим, что в одной минуте 60 секунд. Тогда:

\(60\ мин = 60 \bullet 60 = 3600\ с\)

Отсюда следует что 1 час равен 3600 секундам. Что и соответствует нашей таблице.

2. Переведем 5 минут в часы. Посмотрим, чему равна одна минута часах. Видим, что она равна \(\frac{1}{60}\)

Значит умножим 5 минут на это число и получим:

\(5\ мин = \ 5 \bullet \frac{1}{60} = \frac{1}{12}\ ч\)

ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ МАССЫ:

• 1 тонна = 10 центнеров
• 1 центнер = 100 килограммов
• 1 килограмм = 1000 граммов

Аналогично, как и в работе с таблицей единиц измерений времени. В строчках ищем величину, из которой переводим, в соответствующем ей столбце ищем величину, в которую переводим.

1. Переведем три тонны в килограммы. В строке тонн находим столбик килограммов. Находим, что 1 тонна = 1000 кг.

\(3\ т = 3 \bullet 1000 = 3000\ кг\)

2. Переведем 500 граммов в центнер. Находим строку с граммами и столбец с центнерами. Видим число \(\frac{1}{100000}\):

\(500\ г = 500 \bullet \frac{1}{100000} = \frac{5}{1000}\ ц\)

ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПЛОЩАДИ:

Зная единицы измерения длин, можно находить единицы измерения площадей.

1. Мы знаем, что 10 см = 1 дм.

2. Тогда один кв. дм равен:

\(1\ кв.\ дм = 1\ дм \bullet 1\ дм = 10\ см \bullet 10\ см = 100\ кв.\ см\)

3. Аналогично можно перевести из кв. м в кв. км, зная, что 1 км = 1000 м. Тогда:

\(1кв.\ км = 1000\ м \bullet 1000\ м = \ 1\ 000\ 000\ м.\)

Так можно переводить из любых единиц измерения в любые.

Существуют следующие единицы измерения:

• \(1\ кв.\ км = 100\ га\)
• \(1\ га = 100\ а\)
• \(1\ а = 100\ кв.\ м\)
• \(1\ кв.\ м = 100\ кв.\ дм\)
• \(1\ кв.\ дм = 100\ кв.\ см\)
• \(1\ кв.\ см = 100\ кв.\ мм\)

Единиц измерения площадей намного больше, чем единиц времени или массы. Помимо квадратных единиц измерения расстояния присутствуют такие единица, как ар (а) и гектар (га). Эти величины уже «квадратные», поэтому приставки «кв.» у них нет.

Чтобы представить единицы площади, можно представить квадратную сетку. Возьмем квадрат со стороной 1 мм. Его площадь равна 1 кв. мм.

100 кв. мм = 1 кв. см, тогда если мы соберем квадрат со стороной 10 кв. мм, тогда его площадь составит 100 кв. мм, что и есть 1 кв. см:

Аналогично квадрат размером 10 см на 10 см равен 1 кв. дм; квадрат 10 дм на 10 дм равен 1 кв. м и так далее.

ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ СКОРОСТИ:

Существуют две основные единицы скорости: км/ч (количество километров, пройденное за час) и м/с (количество метров, пройдённое за секунду). Конечно, можно комбинировать эти величины, например км/с или м/ч, но их уже используют реже.

Чтобы перевести км/ч в м/с, можно представить эти величины в виде дроби:

\(\frac{км}{ч}\ \Longrightarrow \frac{м}{с}\)

Переведем каждую величину в числителе и в знаменателе в соответствующую величину времени и расстояния:

\(\frac{1\ км}{1\ ч} = \frac{1000\ м}{60\ мин} = \frac{1000\ м}{3600\ с} = \frac{10\ м}{36\ с}\)

То есть \(1\ км/с\ = \ \frac{10}{36}\ м/с\).

Чтобы перевести км/ч в м/с, нужно количество км/ч умножить на \(\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{36}}\).

Сделаем обратный перевод:

\(\frac{м}{с} \Longrightarrow \frac{км}{ч}\ \)

Переведем отдельно величины в числителе и в знаменателе:

\(\frac{1\ м}{1\ с} = \frac{1}{1000}км\ : \frac{1}{3600}ч = \frac{3600}{1000}км/ч = \frac{36}{10}\ км/ч = 3,6\ км/ч\)

Чтобы перевести м/с в км/ч, нужно количество м/с умножить на 3,6.