Семейное обучение — это домашнее обучение?
Нет, это разные формы обучения. При домашнем обучении по состоянию здоровья за образовательную программу отвечает школа. При семейном обучении — родители, они сами выбирают, где и как будет учиться ребёнок.
Никаких специальных оснований не требуется — достаточно желания семьи. Это право выбора (а в старших классах выбора не за ребенка, а вместе с ребенком) закреплено Федеральным законом Об образовании в Российской Федерации и Семейным кодексом.

Статья 44 ФЗ. Права, обязанности и ответственность в сфере образования родителей (законных представителей) несовершеннолетних обучающихся
Учить ребёнка должны родители?
Необязательно. Школьник может заниматься в образовательном центре Maximum, а ЕГЭ сдавать в школе-партнёре. По окончании 11 класса выпускник получает аттестат государственного образца, как в обычной школе.