Разбор диагностического теста
ЕГЭ по математике

Задание 1. Решите уравнение
Номер в ЕГЭ: 5

Решение
Первое задание – это один из самых простых прототипов уравнения первой части. Никаких логарифмов и тригонометрии. Алгоритм решения этого прототипа вам должен быть знаком. Как мы обычно решаем показательные уравнения? Приводим к одному основанию. Однако в этом примере пока не видно, как это возможно, так как присутствуют 6 и 10. Но здесь также есть дробь 0,6, которая получится, если 6 поделить на 10 поделить. Это уже подсказка.
Первое, что мы сделаем здесь – представим десятичную дробь в виде обыкновенной, так как так с ней работать удобнее.

Теперь у нас есть 6/10 и 6 и 10 одной и той же степени. Тогда мы можем просто взять и поделить левую и правую часть на 10^(3-х) и вынести общую степень.

Теперь приравниваем степени и получаем простейшее линейное уравнение.
3 - x = 1
x = 2

Ответ: 2

Акцент: ученики привыкли к тому, что показательное уравнение – одно из простейших, наряду с квадратным. Однако есть сложные прототипы, для решения которых нужно знать специфический метод решения, то есть важно готовиться непосредственно к заданию формата ЕГЭ.


Задание 2

Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в три раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Номер в ЕГЭ: 8


Решение
Двигаемся дальше по заданиям ЕГЭ. Следующий шаг – стереометрия. Хорошо помните все формулы? Формулу объёма цилиндра вспомните? V=hπr^2
Представим, что это объем первого цилиндра. И далее будем производить изменения с этим
цилиндром, чтобы получить второй. Давайте разбираться с тем, что дано в условии.
Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, то есть вторая в два раза ниже. Это какой элемент в формуле объема? Это высота h. Значит, за счёт этого изменения объем уменьшился в два раза.
Зато вторая кружка в три раза шире. А это какой элемент? Это радиус r. В какой степени в формуле радиус? Во второй. Значит, там как будто два радиуса, и мы каждый увеличиваем в три раза. Возводим изменение в квадрат, тогда это преобразования увеличивает объём в 9 раз. Итак, объем уменьшился в 2 раза и увеличился в 9. Тогда он в итоге увеличился в 4,5 раза.
Значит, вторая кружка по объему больше первой в 4,5 раза.
Это и есть ответ. В стереометрии важно не просто учить формулы, но и уметь их преобразовывать.
Ответ: 4,5

Акцент: важно знать формулы всех фигур, в том числе тел вращения, а также уметь анализировать масштаб изменений, исходя из данных формул.


Задание 3
Найдите значение выражения sin (3π/2+a), если sin a=0,28 и a ∈ (0; π/2)
Номер в ЕГЭ: 9


Решение

Задание кажется очень сложным, не правда ли? Однако, если знать алгоритм, всё не так.
Начнём с преобразования первой формулы: sin (3π/2+a)
Как называются формулы, которыми можно это выражение упростить? Формулы приведения. Проблема в том, что их больше 30, и в школе чаще всего заставляют просто учить наизусть. Но мы на курсах так не делаем. Мы эти формулы легко выводим, сейчас я вам покажу (это называется «Метод лошади»).

Сначала смотрим на угол, который делится на 90 градусов, это угол 3π/2, отмечаем его на круге. Теперь спрашиваем у лошади «Меняется ли функция на кофункцию?» и машем головой вдоль оси, на которой угол располагается. 3 π/2 находится на оси y, то есть лошадь нам кивает, говорит «да», и мы меняем синус на косинус.
Отмечаем исходный угол на круге. В какой четверти находится (3π/2+a)?
Это снизу + еще немного против часовой стрелки, то есть 4 четверть. Какого знака там исходная функция (синус)? Отрицательный.
Значит, и наш знак меняется. Суммируем: sin (3π/2+a) = – cos a
Нам известно, что sin a = 0,28 . Как будем находит косинус? По основному тригонометрическую тождеству можно, но ведь тогда придётся возвести 0,28 в квадрат, а потом еще и извлекать сложный квадратный корень.
Давайте вспомним о том, что тригонометрия вышла из геометрии, и поработаем с треугольником. В каком треугольнике мы находим значения тригонометрических функций по определению? В прямоугольном, его и нарисуем.

Давайте преобразуем значение из условия:
sin a = 0,28 = 28/100 = 7/25

А теперь давайте расширим дробь (домножим числитель и знаменатель на x, нам ведь даны не стороны, а отношения сторон)

sin x = 7x/25x

Чему тогда будет равен второй катет? Нет, мы не будем считать по теореме Пифагора, мы и так знаем: это 24x (Пифагорова тройка 7:24:25, вам рассказывали об этом на мастер-классе).

Находим нужную нам функцию: cos a = 24/25 = 96/100 = 0,96

В условии дано, что a ∈ (0; π/2), где косинус положительный, значит, мы не меняем знак.

Но найти нам нужно именно косинус со знаком минус. Подставляем и получаем:
- cos a = - 0,96
Ответ: -0,96


Акцент: супер-методы для упрощения вычислений и экономии времени в заданиях второй части профильного ЕГЭ. В данном задании требуется найти значение тригонометрической функции угла, проделав несколько этапов. Поэтому необходимо использовать формулы, причем мы учим эти формулы не заучивать, а запоминать эффективным способом. Очень многие задания №9 содержат именно прототипы с тригонометрией.
№9 открывает вторую часть в профильном ЕГЭ, однако является заданием с кратким ответом. Успешность выполнения 24-90% в зависимости от прототипа, конкретно у этого задания – около 24% (а как вы просто с ним справились!). Школьники умеют использовать основное тригонометрическое тождество, но с другими формулами работать затрудняются.


Задание 4
Брюки дороже рубашки на 25% и дешевле пиджака на 50%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?
Номер в ЕГЭ: 11


Решение
Пусть рубашка стоит 100 рублей.
Тогда брюки стоят 100*1,25 = 125 рублей. Составим пропорцию:
𝑥 рублей − 100%
125 рублей − 50%
→ 𝑥 = (125)/50⋅100 = 250


Составим пропорцию:
250 рублей - 100%
100 рублей - x%
х = (100*100)/250 = 40


Тогда рубашка составляет 40% от стоимости пиджака. Значит, она дешевле на 60%.
Ответ: 60%


Акцент: подстановка 100 в текстовых задачах. Это самое сложное задание в части с кратким ответом (№11), с которым справляется менее 40% школьников по России. Лишь в 2018 году процент решаемости превысил 60%, но только потому, что был очень простой прототип. Дело в том, что текстовые задачи проходят в школе в 8 классе, а затем частично (и то не всегда) возвращаются к ним при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Поэтому у школьников в арсенале просто нет методов решения текстовых задач, хотя для того, чтобы ими овладеть, требуется лишь несколько занятий. Вероятнее всего, будут подставлять переменную х или единицу и забудут поделить на цену костюма (а это делать обязательно: делить на то, с чем сравниваем).


Задание 5
Найдите наименьшее значение функции функции f(x) = (𝑥 − 22) ∙ 𝑒^(𝑥−21) на отрезке [20; 22].
Номер в ЕГЭ: 12

Решение
Задачи на наименьшее и наибольшее значение – это всегда задачи на производную. Необходимо найти производную, приравнять её к нулю и найти точки экстремума.
Такое решение возможно, однако в данном задании намного проще просто проанализировать функцию, а точнее – то, какие значения эта функция принимает и можем ли мы эти значения вписать в бланк ответов №1.
Функция состоит из двух множителей.
Первый множитель – линейный. Он принимает «хорошие» значения только тогда, когда само значение переменной принимает такие значения: 0, 1, 2, 3 и так далее.
Второй множитель – показательная функция. Здесь всё сложнее: степень либо должна быть равна 0, либо должна являться натуральным логарифмом какого-то числа. Второе невозможно, так как тогда «плохим» будет первый множитель. Значит, остаётся только один случай – когда степень равна 0. При каком значении переменной это выполняется? При 21. Посчитаем значение функции: f(21) = (21 − 22) ∙ 𝑒^(21−21) = −1
Также вся функция будет принимать 0, которое тоже можно записать в бланк, если первый множитель будет равен 0, то есть при x=22. Однако нам нужно было найти наименьшее значение, тогда в ответ записываем -1.


Ответ: -1


Акцент: использование ограничений экзамена. Это задание может встретиться на позиции
№12 в профильном ЕГЭ. Статистика его решаемости критично низкая – всегда до 45%, на протяжении многих лет оно является одним из самых сложных в части с кратким ответом. Умение получать баллы без решения вообще – важнейший навык для экономии времени, даже несмотря на то, что это работает в ограниченном количестве форматных заданий ЕГЭ.